Demonstrar que o campo elétrico E, num ponto P no vácuo, devido a uma carga uniformemente distribuída sobre um filamento retilíneo de comprimento finito (extremidades A e B) no eixo z, é dado por: E=rhoL4 pi varepsilon0 rho[(sen alpha2+sen alpha1) arho+(cos alpha2-cos alpha1) az], sendo: rhoL= densidade linear de carga (constante),
rho= distância (medida na perpendicular) do eixo z ao ponto P, alpha1, alpha2= ângulos positivos medidos conforme indicados, arho e az= vetores unitários em coordenadas cilíndricas no ponto P .

Passo 1

Beleza, o problema diz assim: temos um fio reto de comprimento finito, ligado entre os pontos A e B no eixo z, com carga distribuída uniformemente (densidade linear E =rhoL4pivarepsilon0,rhol[(sinalpha2+sinalpha1),arho +(cosalpha2-cosalpha1),azr] ). Queremos achar o campo elétrico num ponto , que fica a uma distância perpendicular do eixo z. O resultado esperado é
Isso é eletrostática básica: a gente vai usar a Lei de Coulomb em forma de campo, integrar sobre o fio (superposição) e decompor em componentes cilíndricas.
O que precisamos:
  • Expressar um elemento de carga .
  • Usar o vetor para achar direção e módulo.
  • Aplicar .
  • Integrar de até .
  • Decompor em e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos como origem o próprio ponto R=r-r' = rho,arho ;-; z',az, projetado no eixo z, e coordenadas cilíndricas de R=|R|=raizrho^2+z'^2, . Um ponto genérico no fio tem coordenada dE =14pivarepsilon0,dqR^2,R =14pivarepsilon0,rhoL,dz'(rho^2+z'^2), rho,arho - z',azraizrho^2+z'^2 . O vetor que liga esse pedaço de carga dE =rhoL4pivarepsilon0, rho,arho - z',az (rho^2+z'^2)^3/2 ;dz' até é
com módulo
O versor .
Então o campo diferencial é
Juntando potências,

Passo 3

Agora a gente integra de Erho =rhoL4pivarepsilon0,rho integralzA^zBdz'(rho^2+z'^2)^3/2 até integraldz'(rho^2+z'^2)^3/2 =z'rho^2raizrho^2+z'^2 . Primeiro a componente radial Erho =rhoL4pivarepsilon0,rho gl[z'rho^2raizrho^2+z'^2gr]zA^zB =rhoL4pivarepsilon0,rho gl(zBraizrho^2+zB^2 -zAraizrho^2+zA^2gr) :
Para resolver esse integral, lembramos da primitiva
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Passo 4

Agora a componente em Ez =-,rhoL4pivarepsilon0 integralzA^zBz',dz'(rho^2+z'^2)^3/2 :
integralz',dz'(rho^2+z'^2)^3/2 =-1raizrho^2+z'^2
Aqui a primitiva é
Ez =-,rhoL4pivarepsilon0 l[-1raizrho^2+z'^2r]zA^zB =rhoL4pivarepsilon0 l(1raizrho^2+zB^2 -1raizrho^2+zA^2r)
Então

Passo 5

Para escrever em termos dos ângulos
alpha1,;alpha2,
a gente define
sinalphai=ziraizrho^2+zi^2, cosalphai=rhoraizrho^2+zi^2,
sendo para a extremidade A ( ) e para B ( ). Então:
  • A parte radial fica
  • A parte axial
Dependendo do sinal de e e de como você define , às vezes aparece , mas o esquema das diferenças fica igual.

Resposta

boxed E =rhoL4pivarepsilon0,rho l[(sinalpha2+sinalpha1),arho +(cosalpha2-cosalpha1),azr]

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