Demonstrar que o campo elétrico
, num ponto
no vácuo, devido a uma carga uniformemente distribuída sobre um filamento retilíneo de comprimento finito (extremidades A e B) no eixo z, é dado por:
, sendo:
densidade linear de carga (constante),
distância (medida na perpendicular) do eixo
ao ponto
,
ângulos positivos medidos conforme indicados,
vetores unitários em coordenadas cilíndricas no ponto P .
Passo 1
Beleza, o problema diz assim: temos um fio reto de comprimento finito, ligado entre os pontos A e B no eixo z, com carga distribuída uniformemente (densidade linear
). Queremos achar o campo elétrico
num ponto
, que fica a uma distância perpendicular
do eixo z. O resultado esperado é
Isso é eletrostática básica: a gente vai usar a Lei de Coulomb em forma de campo, integrar sobre o fio (superposição) e decompor em componentes cilíndricas.
O que precisamos:
- Expressar um elemento de carga
. - Usar o vetor
para achar direção e módulo. - Aplicar
. - Integrar de
até . - Decompor em
e .
Passo 2
Primeiro, escolhemos como origem o próprio ponto
projetado no eixo z, e coordenadas cilíndricas de
. Um ponto genérico no fio tem coordenada
. O vetor que liga esse pedaço de carga
até
é
com módulo
O versor
.
Então o campo diferencial é
Juntando potências,
Passo 3
Agora a gente integra de
até
. Primeiro a componente radial
:
Para resolver esse integral, lembramos da primitiva
Logo
Passo 4
Agora a componente em
:
Aqui a primitiva é
Então
Passo 5
Para escrever em termos dos ângulos
a gente define
sendo
para a extremidade A (
) e
para B (
). Então:
- A parte radial fica
- A parte axial
Dependendo do sinal de
e
e de como você define
, às vezes aparece
, mas o esquema das diferenças fica igual.