Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
17\left[\begin{array}{lll}-1 & -2 & -3 \\\\ -2 & -4 & -5 \\\\ -3 & -5 & -6\end{array}\right] \quad \operatorname{Kesp}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 3 & -2 \\\\ 3 & -3 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de duas matrizes 3\times 3. A primeira é
M = 17\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix},
e a segunda é
K = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar inclui o cálculo de determinante, cofactores (para montar a adjunta) e a propriedade
(\lambda A)^{-1} = \frac1\lambda\,A^{-1}.

Passo 2

Chamemos
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix},
logo M = 17A. Primeiro, calculamos \det(A). Por desenvolvimento na primeira linha, encontra-se
\det(A) = -1\det\begin{pmatrix}-4 & -5\\\ -5 & -6\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-2 & -5\\\ -3 & -6\end{pmatrix} +(-3)\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\\ -3 & -5\end{pmatrix} =1-6+6=1.
Como \det(A)=1\neq0, ambas as matrizes são invertíveis.

Passo 3

Para achar A^{-1} usamos a matriz dos cofactores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e depois transpondo. Calcula-se (os detalhes de cada menor podem ser conferidos)
\bigl(C_{ij}\bigr) = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix},
então
A^{-1} = \frac1{\det(A)}\,\bigl(C_{ij}\bigr)^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Note que este resultado coincide exatamente com K.

Passo 4

Usando (17A)^{-1}=\tfrac1{17}A^{-1}, obtemos
M^{-1}=(17A)^{-1} =\frac1{17}\begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como K=A^{-1}, sua inversa é justamente
K^{-1} = A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix}.

Resposta

A inversa de 17\bigl[\dots\bigr] é
\frac1{17} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix},
e a inversa de \displaystyle Kesp\bigl[\dots\bigr] é
\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados