Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes 17\left[\begin{array}{lll}-1 & -2 & -3 \\\\ -2 & -4 & -5 \\\\ -3 & -5 & -6\end{array}\right] \quad \operatorname{Kesp}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 3 & -2 \\\\ 3 & -3 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede a inversa de duas matrizes 3\times 3. A primeira é M = 17\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix}, e a segunda é K = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. O conteúdo que vamos usar inclui o cálculo de determinante, cofactores (para montar a adjunta) e a propriedade (\lambda A)^{-1} = \frac1\lambda\,A^{-1}. Passo 2Chamemos A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix}, logo M = 17A. Primeiro, calculamos \det(A). Por desenvolvimento na primeira linha, encontra-se \det(A) = -1\det\begin{pmatrix}-4 & -5\\\ -5 & -6\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-2 & -5\\\ -3 & -6\end{pmatrix} +(-3)\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\\ -3 & -5\end{pmatrix} =1-6+6=1. Como \det(A)=1\neq0, ambas as matrizes são invertíveis. Passo 3Para achar A^{-1} usamos a matriz dos cofactores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e depois transpondo. Calcula-se (os detalhes de cada menor podem ser conferidos) \bigl(C_{ij}\bigr) = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, então A^{-1} = \frac1{\det(A)}\,\bigl(C_{ij}\bigr)^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Note que este resultado coincide exatamente com K. Passo 4Usando (17A)^{-1}=\tfrac1{17}A^{-1}, obtemos M^{-1}=(17A)^{-1} =\frac1{17}\begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Passo 5Como K=A^{-1}, sua inversa é justamente K^{-1} = A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix}. RespostaA inversa de 17\bigl[\dots\bigr] é \frac1{17} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, e a inversa de \displaystyle Kesp\bigl[\dots\bigr] é \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\\\ -2 & -4 & -5\\\\ -3 & -5 & -6 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes c) \left[\begin{array}{rrr}-3 & -1 & -3 \\\\ 2 & -4 & -1 \\\\ 1 & -2 & -2\end{array}\right] \quad Resp \left[\begin{array}{rrr}6 & 4 & -11 \\\\ 5 & 3 & -9 \\\\ -8 & -5 & 14\end{array}\right] Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes \left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right] . \quad \operatorname{Resp}\left[\begin{array}{rr}2 & -5 \\\\ -1 & 3\end{array}\right] Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes \left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1\end{array}\right] \quad \operatorname{Resp}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right] Use o método de Gauss-Jordan para encontrar A^{-1}, onde A=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0\end{array}\right).