Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
c) \left[\begin{array}{rrr}-3 & -1 & -3 \\\\ 2 & -4 & -1 \\\\ 1 & -2 & -2\end{array}\right] \quad Resp \left[\begin{array}{rrr}6 & 4 & -11 \\\\ 5 & 3 & -9 \\\\ -8 & -5 & 14\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & -1 & -3\\\\ 2 & -4 & -1\\\\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é o método da adjunta:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A.

Passo 2

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) = -3\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & -1\\\ -2 & -2\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & -2\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}-4 & -1\\\ -2 & -2\end{pmatrix} =8-2=6,\quad \det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & -2\end{pmatrix} =-4+1=-3,\quad \det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 1 & -2\end{pmatrix} =-4+4=0.
Logo
\det(A) = -3\cdot6 +1\cdot(-3) -3\cdot0 = -18 -3 = -21.

Passo 3

Agora formamos a matriz dos cofatores C = (C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij},
e M_{ij} é o menor associado à posição (i,j). Calculando todos os M_{ij} e os sinais, obtemos
C = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 0\\\\ 4 & 9 & -7\\\\ -11 & -9 & 14 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 6 & 4 & -11\\\\ 3 & 9 & -9\\\\ 0 & -7 & 14 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -\frac{1}{21} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -11\\\\ 3 & 9 & -9\\\\ 0 & -7 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{7} & -\tfrac{4}{21} & \tfrac{11}{21}\\[6pt] -\tfrac{1}{7} & -\tfrac{3}{7} & \tfrac{3}{7}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{7} & -\tfrac{4}{21} & \tfrac{11}{21}\\[4pt] -\tfrac{1}{7} & -\tfrac{3}{7} & \tfrac{3}{7}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

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