Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right] . \quad \operatorname{Resp}\left[\begin{array}{rr}2 & -5 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é invertibilidade de matrizes 2\times2. Para resolver, precisamos calcular o determinante de A e, se for diferente de zero, aplicar a fórmula de inversão para matrizes 2\times2.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A. Sejam a=3, b=5, c=1 e d=2. Então
\det(A) = a\,d - b\,c = 3\cdot2 - 5\cdot1 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)\neq 0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

A fórmula para a inversa de uma matriz 2\times2 é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix}.
Substituindo a=3, b=5, c=1, d=2 e \det(A)=1, obtemos a matriz adjunta:
\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como \det(A)=1, basta multiplicar a matriz adjunta por 1. Logo,
A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\\\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.

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