Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1\end{array}\right] \quad \operatorname{Resp}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ -1 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
O conteúdo aqui é inversão de matrizes pelo método de Gauss–Jordan: montamos [A\mid I] e aplicamos operações até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Usamos o elemento (1,1) como pivô. Multiplicamos a primeira linha por -1 e obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\\\ -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Em seguida eliminamos as entradas debaixo do pivô:
L2 ← L2 + L1 e L3 ← L3 + L1, chegando a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

O segundo pivô é o elemento (2,2) que vale -1. Multiplicamos a segunda linha por -1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]
Depois eliminamos a entrada abaixo dele: L3 ← L3 + L2, resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]

Passo 5

O terceiro pivô é (3,3)=-1. Multiplicamos a terceira linha por -1, chegando a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]
Agora o bloco à esquerda é a matriz identidade, logo o bloco à direita é a inversa procurada.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

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