Mostre que se
E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e
F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) são bases ortonormais, entao a matriz
M de mudança de base de E para F satisfaz M .
\mathbf{M}^{\mathbf{t}}=\mathbf{M}^{\mathbf{t}} . \mathbf{M}=\mathbf{I}, onde
\mathbf{I} é a matriz identidade (matrizes com tal propriedade chamam-se matrizes ortogonais).
Sugestão: Sendo
\mathrm{M}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right), use as relações
\overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{i}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{j}}=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } \mathrm{i} \neq \mathrm{j} \\\\ 1, \text { se } \mathrm{i}=\mathrm{j} \end{array}\right.
para concluir que
\begin{aligned} & a_{11}^{2}+a_{21}^{2}+a_{31}^{2}=1 \\\ & a_{12}^{2}+a_{22}^{2}+a_{32}^{2}=1 \\\ & a_{13}^{2}+a_{23}^{2}+a_{33}^{2}=1 \\\ & a_{11} a_{12}+a_{21} a_{22}+a_{31} a_{32}=0 \\\ & a_{11} a_{13}+a_{21} a_{23}+a_{31} a_{33}=0 \\\ & a_{12} a_{13}+a_{22} a_{23}+a_{32} a_{33}=0 \end{aligned}
e daí que
\mathbf{M}^{\mathbf{t}} . \mathbf{M}=\mathbf{I}
Observações (verifique-as!)
-
M é ortogonal
\Leftrightarrow M^{-1}=M^{t}
- M é ortogonal
\Leftrightarrow o produto escalar de dois “vetores-coluna” (linha) é nulo se eles forem distintos e igual a 1 no outro caso.
- Se M é ortogonal, então
\operatorname{det} \mathrm{M} é 1 ou -1 .