Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right], Resp. \left[\begin{array}{rrr}-4 & -5 & 3 \\\\ 3 & 3 & -2 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada [A\mid I] e aplicamos operações elementares até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna:
\bigl[A\mid I\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ -1&-1& 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo R_2\gets R_2+R_1 e depois R_3 permanece,
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 &\mid& 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora R_3\gets R_3-R_2 para zerar:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 &\mid& 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& -1&-1&1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos acima do pivô de R_3:
R_1\gets R_1 - R_3,\quad R_2\gets R_2 - 2R_3
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &\mid& 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 &\mid& 3 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& -1&-1&1 \end{pmatrix}.
Em seguida, zeramos acima do pivô de R_2:
R_1\gets R_1 - 2R_2
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& -4&-5&3\\\\ 0 & 1 & 0 &\mid& 3 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& -1&-1&1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como chegamos a \bigl[I\mid A^{-1}\bigr], concluímos que a inversa de A existe e é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 3\\\\ 3 & 3 & -2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} -4 & -5 & 3\\\\ 3 & 3 & -2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

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