Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{rrr}2 & 5 & -1 \\\\ 4 & 8 & 2 \\\\ 0 & 4 & -9\end{array}\right]. Resp. \left[\begin{array}{rrr}-20 & \frac{41}{4} & \frac{9}{2} \\\\ 9 & -\frac{9}{2} & -2 \\\\ 4 & -2 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1\\\\ 4 & 8 & 2\\\\ 0 & 4 & -9 \end{pmatrix}.
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montamos \bigl[A\mid I\bigr] e aplicamos operações elementares até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Aumentando A com a identidade e eliminando abaixo do pivô de linha 1:
\bigl[A\mid I\bigr] = \left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 5 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 4 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & -9 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right].
Aplicamos R_2\leftarrow R_2-2R_1, ficando
\bigl[R_2\bigr]=[0,\,-2,\,4\mid -2,\,1,\,0],
e depois R_3\leftarrow R_3+2R_2 (com o novo R_2), obtendo
\left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 5 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 4 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & -4 & 2 & 1 \end{array} \right].

Passo 3

Agora temos triangular superior. Tornamos o pivô de R_3 igual a 1 multiplicando R_3 por -1, e eliminamos acima na coluna 3:
R_3\leftarrow -R_3\implies[0,0,1\mid 4,-2,-1].
Em seguida
R_2\leftarrow R_2-4R_3\implies[0,-2,0\mid -18,\,9,\,4]
e
R_1\leftarrow R_1+R_3\implies[2,\,5,\,0\mid 5,\,-2,\,-1].
Fica
\left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 5 & 0 & 5 & -2 & -1\\\\ 0 & -2 & 0 & -18 & 9 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -2 & -1 \end{array} \right].

Passo 4

Restam as colunas 1 e 2. Primeiro escalo R_2 para pivô 1:
R_2\leftarrow R_2/(-2)\implies[0,1,0\mid 9,\,-\tfrac92,\,-2].
Elimino a entrada acima em coluna 2:
R_1\leftarrow R_1-5R_2\implies[2,0,0\mid -40,\,\tfrac{41}{2},\,9].
Por fim, escalo R_1 dividindo por 2:
R_1\leftarrow R_1/2\implies[1,0,0\mid -20,\,\tfrac{41}{4},\,\tfrac92].
Agora está
\left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -20 & \tfrac{41}{4} & \tfrac92\\\\ 0 & 1 & 0 & 9 & -\tfrac92 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -2 & -1 \end{array} \right],
logo à direita está A^{-1}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -20 & \tfrac{41}{4} & \tfrac{9}{2}\\\\ 9 & -\tfrac{9}{2} & -2\\\\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}.

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