Mostre que se E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) são bases ortonormais, entao a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M . \mathbf{M}^{\mathbf{t}}=\mathbf{M}^{\mathbf{t}} . \mathbf{M}=\mathbf{I}, onde \mathbf{I} é a matriz identidade (matrizes com tal propriedade chamam-se matrizes ortogonais).
Sugestão: Sendo \mathrm{M}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right), use as relações
\overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{i}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{j}}=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } \mathrm{i} \neq \mathrm{j} \\\\ 1, \text { se } \mathrm{i}=\mathrm{j} \end{array}\right.
para concluir que
\begin{aligned} & a_{11}^{2}+a_{21}^{2}+a_{31}^{2}=1 \\\ & a_{12}^{2}+a_{22}^{2}+a_{32}^{2}=1 \\\ & a_{13}^{2}+a_{23}^{2}+a_{33}^{2}=1 \\\ & a_{11} a_{12}+a_{21} a_{22}+a_{31} a_{32}=0 \\\ & a_{11} a_{13}+a_{21} a_{23}+a_{31} a_{33}=0 \\\ & a_{12} a_{13}+a_{22} a_{23}+a_{32} a_{33}=0 \end{aligned}
e daí que \mathbf{M}^{\mathbf{t}} . \mathbf{M}=\mathbf{I}
Observações (verifique-as!)
  1. M é ortogonal \Leftrightarrow M^{-1}=M^{t}
  2. M é ortogonal \Leftrightarrow o produto escalar de dois “vetores-coluna” (linha) é nulo se eles forem distintos e igual a 1 no outro caso.
  3. Se M é ortogonal, então \operatorname{det} \mathrm{M} é 1 ou -1 .

Passo 1

Temos duas bases ortonormais de \mathbb{R}^3:
E=(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3) e F=(\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3).
Seja M=(a_{ij}) a matriz de mudança de base de E para F, ou seja, as colunas de M são as coordenadas dos vetores de F na base E:
\vec f_j = \sum_{i=1}^3 a_{ij}\,\vec e_i, \quad j=1,2,3.
Queremos mostrar que
M^T M = I \quad\text{e}\quad M\,M^T = I,
o que caracteriza matrizes ortogonais.

Passo 2

Calculemos o produto interno de dois vetores de F, usando a expansão acima e a ortonormalidade de E:
\vec f_i\cdot\vec f_j = \Bigl(\sum_{k=1}^3 a_{ki}\,\vec e_k\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\sum_{\ell=1}^3 a_{\ell j}\,\vec e_\ell\Bigr) = \sum_{k=1}^3\sum_{\ell=1}^3 a_{ki}\,a_{\ell j}\,(\vec e_k\cdot\vec e_\ell).
Como \vec e_k\cdot\vec e_\ell=\delta_{k\ell}, isso reduz a
\vec f_i\cdot\vec f_j = \sum_{k=1}^3 a_{ki}\,a_{kj}.

Passo 3

Pela ortonormalidade de F\) vale \[\vec f_i\cdot\vec f_j = \begin{cases} 0, & i\neq j,\\\\ 1, & i=j. \end{cases}
Logo para todo i,j\] \[\sum_{k=1}^3 a_{ki}\,a_{kj} \;=\;\delta_{ij}.\] Mas o lado esquerdo é exatamente a entrada \((i,j) de M^T M. Portanto
M^T M = I.

Passo 4

Do fato de M^T M=I segue que M é invertível e que
M^{-1}=M^T.
Multiplicando à esquerda por M obtemos também
M\,M^T = I.

Resposta

M^T M = M\,M^T = I,
ou seja, M é uma matriz ortogonal (portanto M^{-1}=M^T e \det M=\pm1).

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