Mostre que se E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) são bases ortonormais, entao a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M . \mathbf{M}^{\mathbf{t}}=\mathbf{M}^{\mathbf{t}} . \mathbf{M}=\mathbf{I}, onde \mathbf{I} é a matriz identidade (matrizes com tal propriedade chamam-se matrizes ortogonais).
Sugestão: Sendo \mathrm{M}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right), use as relações
\overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{i}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{j}}=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } \mathrm{i} \neq \mathrm{j} \\\\ 1, \text { se } \mathrm{i}=\mathrm{j} \end{array}\right.
e daí que \mathbf{M}^{\mathbf{t}} . \mathbf{M}=\mathbf{I}
Observações (verifique-as!)
M é ortogonal \Leftrightarrow M^{-1}=M^{t}
M é ortogonal \Leftrightarrow o produto escalar de dois “vetores-coluna” (linha) é nulo se eles forem distintos e igual a 1 no outro caso.
Se M é ortogonal, então \operatorname{det} \mathrm{M} é 1 ou -1 .
Passo 1
Temos duas bases ortonormais de \mathbb{R}^3: E=(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3) e F=(\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3).
Seja M=(a_{ij}) a matriz de mudança de base de E para F, ou seja, as colunas de M são as coordenadas dos vetores de F na base E: