Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
g(x)=\frac{4 x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}};

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico da função abaixo: g(x)=\frac{4 x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}".
Informações dadas e perguntas que precisamos responder:
  • A função é g(x)=\dfrac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}.
  • Precisamos achar todas as assíntotas verticais (se existirem).
  • Precisamos achar todas as assíntotas horizontais (se existirem).
  • Para isso teremos que analisar domínio e limites laterais em pontos críticos e em \pm\infty.

Passo 2

Encontrar o domínio de g.
Explicação didática: a raiz quadrada \sqrt{\cdot} exige argumento não negativo, e além disso não podemos dividir por zero. Então impomos duas condições:
x^{2}-2>0
porque se x^{2}-2=0 a raiz seria zero e dividiríamos por zero (proibido), e se x^{2}-2<0 a raiz não é real. Resolver a desigualdade:
x^{2}-2>0 \iff x^{2}>2 \iff |x|>\sqrt{2}.
Portanto o domínio é
(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\infty).
Comentário amigável: isso significa que a função “só existe” para x maiores que \sqrt{2} ou menores que -\sqrt{2}; o intervalo entre -\sqrt{2} e \sqrt{2} está excluído.

Passo 3

O que são assíntotas verticais, de forma prática?
Breve aula: um ponto x=a é candidato a assíntota vertical quando pertence à fronteira do domínio (por exemplo, um ponto onde a função não está definida), e quando a função tende a \pm\infty ao se aproximar de a por direções permitidas. Aqui os pontos de fronteira são x=\pm\sqrt{2}. Então vamos calcular os limites laterais nesses pontos.

Passo 4

Limite quando x\to\sqrt{2}^+.
Explicação: só podemos aproximar \sqrt{2} pela direita porque à esquerda a função não está definida. Para x próximo de \sqrt{2} e maior que \sqrt{2} temos \sqrt{x^{2}-2}\to 0^{+} enquanto 4x^{2}\to 4(\sqrt{2})^{2}=8. Logo a razão tende a 8/0^{+}=+\infty. Em notação:
\lim_{x\to\sqrt{2}^{+}} \frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}=+\infty.
Interpretação: a função explode para +\infty ao aproximar \sqrt{2} vindo da direita, então x=\sqrt{2} é uma assíntota vertical (pelo lado do domínio).

Passo 5

Limite quando x\to -\sqrt{2}^{-}.
Explicação: para x próximo de -\sqrt{2} e menor que -\sqrt{2} (isto é, aproximando por valores no domínio), temos novamente \sqrt{x^{2}-2}\to 0^{+} e 4x^{2}\to 8. Assim
\lim_{x\to -\sqrt{2}^{-}} \frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}=+\infty.
Observação: não dá para aproximar -\sqrt{2} por valores maiores (direita) porque esses pontos não pertencem ao domínio. Como ao aproximar pelo lado permitido a função vai a +\infty, x=-\sqrt{2} também é assíntota vertical.

Passo 6

Conclusão sobre assíntotas verticais.
Pelo que vimos, ambos os pontos da fronteira do domínio causam explosão positiva da função quando nos aproximamos por valores do domínio. Portanto as assíntotas verticais são
x=\sqrt{2}\quad\text{e}\quad x=-\sqrt{2}.

Passo 7

O que são assíntotas horizontais, de forma prática?
Breve aula: uma reta y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to+\infty} g(x)=L ou \lim_{x\to-\infty} g(x)=L. Precisamos então calcular os limites da função quando x\to+\infty e x\to-\infty.

Passo 8

Avaliar \lim_{x\to+\infty} g(x). Técnica usada: fatorar o comportamento dominante em x. Notar que para x\to\pm\infty tem-se \sqrt{x^{2}-2}=\lvert x\rvert\sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}. Para x\to+\infty temos \lvert x\rvert=x. Então:
g(x)=\frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}} =\frac{4x^{2}}{x\sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}} =\frac{4x}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}}.
Agora use a propriedade de limites: quando x\to+\infty temos \dfrac{2}{x^{2}}\to0, logo \sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}\to1. Portanto
\lim_{x\to+\infty} g(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}}=+\infty.
Interpretação clara: o numerador cresce linearmente em x (após simplificação) e o denominador tende a 1, então a função vai para +\infty.

Passo 9

Avaliar \lim_{x\to -\infty} g(x). Mesma técnica, agora \lvert x\rvert=-x porque x é negativo grande. Então
g(x)=\frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}} =\frac{4x^{2}}{\lvert x\rvert\sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}} =\frac{4\lvert x\rvert}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}}.
Para x\to -\infty temos \lvert x\rvert\to+\infty e \sqrt{1-\dfrac{2}{x^{2}}}\to1, portanto
\lim_{x\to -\infty} g(x)=+\infty.
Comentário: a função cresce para +\infty tanto para +\infty quanto para -\infty, então não existe valor finito L sendo limite — logo não há assíntota horizontal.

Passo 10

Resumo e observações finais (motivações para a prova):
  • Assíntotas verticais aparecem em pontos em que o denominador tende a zero por valores do domínio e o numerador tende a valor não nulo, levando a divergência. Aqui isso aconteceu em x=\pm\sqrt{2}.
  • Assíntotas horizontais aparecem quando os limites em \pm\infty são finitos; aqui os limites em \pm\infty são +\infty, então não há assíntotas horizontais.
  • Dica prática para a prova: ao avaliar limites com \sqrt{x^{2}+(\cdots)} para x\to\pm\infty, troque por \lvert x\rvert\sqrt{1+(\cdots)/x^{2}} e trate os sinais de \lvert x\rvert separadamente para +\infty e -\infty.

Resposta

Assíntotas verticais: x=\sqrt{2}
Assíntotas verticais: x=-\sqrt{2}
Assíntotas horizontais: nenhuma

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