Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico da função abaixo:
".
Informações dadas e perguntas que precisamos responder:
Informações dadas e perguntas que precisamos responder:
- A função é
. - Precisamos achar todas as assíntotas verticais (se existirem).
- Precisamos achar todas as assíntotas horizontais (se existirem).
- Para isso teremos que analisar domínio e limites laterais em pontos críticos e em
.
Passo 2
Encontrar o domínio de
.
Explicação didática: a raiz quadrada exige argumento não negativo, e além disso não podemos dividir por zero. Então impomos duas condições:
Explicação didática: a raiz quadrada
porque se
a raiz seria zero e dividiríamos por zero (proibido), e se
a raiz não é real. Resolver a desigualdade:
Portanto o domínio é
Comentário amigável: isso significa que a função “só existe” para
maiores que
ou menores que
; o intervalo entre
e
está excluído.
Passo 3
O que são assíntotas verticais, de forma prática?
Breve aula: um ponto é candidato a assíntota vertical quando pertence à fronteira do domínio (por exemplo, um ponto onde a função não está definida), e quando a função tende a
ao se aproximar de
por direções permitidas. Aqui os pontos de fronteira são
. Então vamos calcular os limites laterais nesses pontos.
Breve aula: um ponto
Passo 4
Limite quando
.
Explicação: só podemos aproximar pela direita porque à esquerda a função não está definida. Para
próximo de
e maior que
temos
enquanto
. Logo a razão tende a
. Em notação:
Explicação: só podemos aproximar
Interpretação: a função explode para
ao aproximar
vindo da direita, então
é uma assíntota vertical (pelo lado do domínio).
Passo 5
Limite quando
.
Explicação: para próximo de
e menor que
(isto é, aproximando por valores no domínio), temos novamente
e
. Assim
Explicação: para
Observação: não dá para aproximar
por valores maiores (direita) porque esses pontos não pertencem ao domínio. Como ao aproximar pelo lado permitido a função vai a
,
também é assíntota vertical.
Passo 6
Conclusão sobre assíntotas verticais.
Pelo que vimos, ambos os pontos da fronteira do domínio causam explosão positiva da função quando nos aproximamos por valores do domínio. Portanto as assíntotas verticais são
Pelo que vimos, ambos os pontos da fronteira do domínio causam explosão positiva da função quando nos aproximamos por valores do domínio. Portanto as assíntotas verticais são
Passo 7
O que são assíntotas horizontais, de forma prática?
Breve aula: uma reta é assíntota horizontal se
ou
. Precisamos então calcular os limites da função quando
e
.
Breve aula: uma reta
Passo 8
Avaliar
. Técnica usada: fatorar o comportamento dominante em
. Notar que para
tem-se
. Para
temos
. Então:
Agora use a propriedade de limites: quando
temos
, logo
. Portanto
Interpretação clara: o numerador cresce linearmente em
(após simplificação) e o denominador tende a 1, então a função vai para
.
Passo 9
Avaliar
. Mesma técnica, agora
porque
é negativo grande. Então
Para
temos
e
, portanto
Comentário: a função cresce para
tanto para
quanto para
, então não existe valor finito
sendo limite — logo não há assíntota horizontal.
Passo 10
Resumo e observações finais (motivações para a prova):
- Assíntotas verticais aparecem em pontos em que o denominador tende a zero por valores do domínio e o numerador tende a valor não nulo, levando a divergência. Aqui isso aconteceu em
. - Assíntotas horizontais aparecem quando os limites em
são finitos; aqui os limites em são , então não há assíntotas horizontais. - Dica prática para a prova: ao avaliar limites com
para , troque por e trate os sinais de separadamente para e .
Resposta
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais: nenhuma
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais: nenhuma