Calcule os limites laterais e o limite quando x \rightarrow a, caso existam:
f(x)=|x-2|\left(\frac{x-1}{x-2}\right), a=2;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=|x-2|\left(\frac{x-1}{x-2}\right)
e pede os limites laterais em a=2, isto é:
\lim_{x\to 2^-} f(x),\qquad \lim_{x\to 2^+} f(x),
e o limite geral \lim_{x\to 2} f(x) caso exista. Observação importante: para x=2 o denominador x-2 é zero, então a expressão original não está definida em x=2; por isso tratamos limites aproximando x por valores menores e maiores que 2.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): a presença de |x-2| e de (x-2) no denominador indica que devemos separar os casos x>2 e x<2, pois a expressão do valor absoluto muda de sinal nesses intervalos. Depois de simplificar para cada caso (lembrando que podemos cancelar x-2 porque estamos considerando x\neq2), calculamos os limites por substituição direta.

Passo 3

Caso x>2: aqui |x-2|=x-2. Substituindo na função obtemos, para x\neq2,
f(x)=(x-2)\left(\frac{x-1}{x-2}\right).
Como x-2\neq0 nesse caso, podemos cancelar x-2 e fica
f(x)=x-1\qquad\text{para }x>2.
Agora o limite pela direita é o limite da função x-1 quando x\to2^+. Usando substituição direta (polinômios são contínuos),
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} (x-1)=2-1=1.

Passo 4

Caso x<2: aqui |x-2|=-(x-2). Substituindo,
f(x)=-(x-2)\left(\frac{x-1}{x-2}\right).
De novo, para x\neq2 podemos cancelar x-2, ficando
f(x)=-(x-1)=1-x\qquad\text{para }x<2.
O limite pela esquerda é o limite da função 1-x quando x\to2^-. Substituindo,
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (1-x)=1-2=-1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite geral: os limites laterais são diferentes ( -1 à esquerda e 1 à direita). Quando os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe. Também reforço: a função original não está definida em x=2, então não há valor para atribuir em x=2 que faça o limite existir.

Resposta

\lim_{x\to 2^-} f(x) = -1
\lim_{x\to 2^+} f(x) = 1
\lim_{x\to 2} f(x) não existe

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