Sejam
Determine, se existirem, seja contínua em 0 e exista .
Analisando as condições para ser contínua em 0 . Primeiramente .
Para ser contínua em 0 , os limites laterais de , quando tende a 0 , e devem ser iguais, logo: . Daí, .
Agora analisando as condições para a existência de .
A função seno é limitada para todo sen e , isto é, , logo ao multiplicar com o fator positivo na desigualdade anterior, temos:
Como o limite das funções que estão nos extremos da desigualdade são iguais: , o Teorema do Confronto garante que sen . Daí concluímos que,
Para a existência do limite, os limites laterais devem ser iguais, logo: -2 , isto é, .

Passo 1

O enunciado dá a função peça-por-peça
f(x)= dfracx^2-1x+1+a, & x<-1,[6pt] (x+1)sinl(tfrac1x+1r)-2, & -1<x<0,[6pt] dfracraizx-1b-bx, & x>=0,
e pede que f seja contínua em x=0 e que exista limxto-1f(x).
O conteúdo envolve cálculo de limites laterais, definição de continuidade e o Teorema do Confronto (para o limite em -1).]

Passo 2

Para a continuidade em precisamos que
. Avaliando na parte :
. Cálculo do limite pela direita:
. Cálculo do limite pela esquerda:
Igualando

Passo 3

Para a existência de limxto-1f(x) precisamos que os limites laterais em -1 coincidam.
1. Lado esquerdo ( x<-1):
limxto-1^-f(x) =limxto-1^-l[x^2-1x+1+ar] =limxto-1^-l[x-1+ar] =-2+a
2. Lado direito ( -1<x<0): escreva t=x+1>0. Então
(x+1)senl(tfrac1x+1r) =tsenl(tfrac1tr),
e como -t<= tsen(1/t)<= t e tto0^+, pelo Teorema do Confronto
limxto-1^+(x+1)senl(tfrac1x+1r)=0
Logo
limxto-1^+f(x)=0-2=-2
Igualando -2+a=-2 resulta a=0.

Resposta

e

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