Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i)
(b)
Passo 1
Temos duas funções e seis intervalos em que precisamos achar extremos absolutos (mínimos e máximos atingidos). A estratégia é:
- calcular as derivadas e encontrar pontos críticos viáveis;
- avaliar a função nesses pontos críticos e nos pontos de fronteira de cada intervalo;
- comparar os valores para decidir mínimos e máximos absolutos.
Passo 2
Para a função (a)
temos
Assim os pontos críticos são
Passo 3
Avalio
nos candidatos e em alguns pontos de fronteira relevantes
:
Passo 4
Comparando esses valores em cada intervalo:
i)
inclui todos os pontos:
mínimo em
, máximo
em
.
mínimo
ii)
exclui
e
:
valor mais baixo em com
; valor mais alto em
com
(embora o supremo
não seja atingido).
valor mais baixo em
iii)
:
como quando
, não há máximo; o menor valor ocorre em
com
.
como
iv)
:
pontos a considerar são e o limite em
;
mínimo em com
, máximo em
com
.
pontos a considerar são
mínimo em
v)
:
pontos são e limite em
;
mínimo em com
, máximo em
com
.
pontos são
mínimo em
vi)
:
só há ponto crítico interior ;
mínimo em com
, máximo não existe (supremo
não é atingido).
só há ponto crítico interior
mínimo em
Passo 5
Para a função (b)
temos
portanto pontos críticos
e
.
Passo 6
Avalio
em
:
Passo 7
Comparando em cada intervalo:
i)
:
mínimo em
, máximo
em
.
mínimo
ii)
:
,
não são atingidos, logo sem extremos absolutos.
iii)
:
polinômio cúbico sem limites superior ou inferior, sem extremos absolutos.
polinômio cúbico sem limites superior ou inferior, sem extremos absolutos.
iv)
:
mínimo em
, máximo
em
.
mínimo
v)
:
máximo em
, mas
não é atingido, então sem mínimo.
máximo
vi)
:
máximo em
, sem mínimo (infimum não atingido).
máximo
Resposta
(a)
i) mínimo em
, máximo
em
.
ii) mínimo em
, máximo
em
.
iii) mínimo em
, sem máximo.
iv) mínimo em
, máximo
em
.
v) mínimo em
, máximo
em
.
vi) mínimo em
, sem máximo.
i) mínimo
ii) mínimo
iii) mínimo
iv) mínimo
v) mínimo
vi) mínimo
(b)
i) mínimo em
, máximo
em
.
ii) sem extremos absolutos.
iii) sem extremos absolutos.
iv) mínimo em
, máximo
em
.
v) máximo em
, sem mínimo.
vi) máximo em
, sem mínimo.
i) mínimo
ii) sem extremos absolutos.
iii) sem extremos absolutos.
iv) mínimo
v) máximo
vi) máximo