Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i) [-1,5]\) ii) \((-1,5)\) iii) \(\mathbb{R}\) iv) \([-1,3)\) v) \((-1,3]\) vi) \((-1,3)\) para cada uma das funções dadas abaixo. (a) \(f(x)= \begin{cases}x^{2}-2 x-3, & \text { se } x \leq 3 \\\ x^{3}-48 x+117, & \text { se } x>3\end{cases}
(b) f(x) = x^{3}-6 x^{2}+9 x-3

Passo 1

Temos duas funções e seis intervalos em que precisamos achar extremos absolutos (mínimos e máximos atingidos). A estratégia é:
  1. calcular as derivadas e encontrar pontos críticos viáveis;
  2. avaliar a função nesses pontos críticos e nos pontos de fronteira de cada intervalo;
  3. comparar os valores para decidir mínimos e máximos absolutos.

Passo 2

Para a função (a)
f(x)= \begin{cases} x^{2}-2x-3, & x\le3,\\\ x^{3}-48x+117, & x>3, \end{cases}
temos
f_1'(x)=2x-2,\quad f_2'(x)=3x^2-48.
Assim os pontos críticos são
f_1'(x)=0\implies x=1\quad(\text{válido em }x\le3),á
f_2'(x)=0\implies x^2=16\implies x=\pm4\quad\text{só }x=4\text{ vale para }x>3.ó

Passo 3

Avalio f nos candidatos e em alguns pontos de fronteira relevantes x=-1,1,3,4,5:
f(-1)=(-1)^2-2(-1)-3=0,
f(1)=1-2-3=-4,
f(3)=9-6-3=0,
f(4)=64-192+117=-11,
f(5)=125-240+117=2.

Passo 4

Comparando esses valores em cada intervalo:
i) [-1,5] inclui todos os pontos:
mínimo f(4)=-11 em x=4, máximo f(5)=2 em x=5.
ii) (-1,5) exclui -1 e 5:
valor mais baixo em x=4 com f(4)=-11; valor mais alto em x=3 com f(3)=0 (embora o supremo =2 não seja atingido).
iii) \mathbb R:
como f(x)\to+\infty quando |x|\to\infty, não há máximo; o menor valor ocorre em x=4 com f(4)=-11.
iv) [-1,3):
pontos a considerar são -1,1 e o limite em 3;
mínimo em x=1 com f(1)=-4, máximo em x=-1 com f(-1)=0.
v) (-1,3]:
pontos são 1,3 e limite em -1;
mínimo em x=1 com f(1)=-4, máximo em x=3 com f(3)=0.
vi) (-1,3):
só há ponto crítico interior x=1;
mínimo em x=1 com f(1)=-4, máximo não existe (supremo =0 não é atingido).

Passo 5

Para a função (b)
f(x)=x^3-6x^2+9x-3
temos
f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3),
portanto pontos críticos x=1 e x=3.

Passo 6

Avalio f em x=-1,1,3,5:
f(-1)=-1-6-9-3=-19,\quad f(1)=1-6+9-3=1,
f(3)=27-54+27-3=-3,\quad f(5)=125-150+45-3=17.

Passo 7

Comparando em cada intervalo:
i) [-1,5]:
mínimo f(-1)=-19 em x=-1, máximo f(5)=17 em x=5.
ii) (-1,5): \inf=-19, \sup=17 não são atingidos, logo sem extremos absolutos.
iii) \mathbb R:
polinômio cúbico sem limites superior ou inferior, sem extremos absolutos.
iv) [-1,3):
mínimo f(-1)=-19 em x=-1, máximo f(1)=1 em x=1.
v) (-1,3]:
máximo f(1)=1 em x=1, mas \inf=-19 não é atingido, então sem mínimo.
vi) (-1,3):
máximo f(1)=1 em x=1, sem mínimo (infimum não atingido).

Resposta

(a)
i) mínimo -11 em x=4, máximo 2 em x=5.
ii) mínimo -11 em x=4, máximo 0 em x=3.
iii) mínimo -11 em x=4, sem máximo.
iv) mínimo -4 em x=1, máximo 0 em x=-1.
v) mínimo -4 em x=1, máximo 0 em x=3.
vi) mínimo -4 em x=1, sem máximo.
(b)
i) mínimo -19 em x=-1, máximo 17 em x=5.
ii) sem extremos absolutos.
iii) sem extremos absolutos.
iv) mínimo -19 em x=-1, máximo 1 em x=1.
v) máximo 1 em x=1, sem mínimo.
vi) máximo 1 em x=1, sem mínimo.

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