Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=2 x+\frac{8}{x}+2

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa de
• domínio, interseções com os eixos, pontos críticos, monotonicidade, extremos locais e globais;
• concavidade, pontos de inflexão;
• assíntotas;
• esboço do gráfico;
para a função
f(x) = 2x + \frac{8}{x} + 2.
Vamos usar derivadas para monotonicidade e concavidade, além de limites para assíntotas.

Passo 2

Determinar domínio e interseções com os eixos.
• O termo \frac{8}{x} exige x \neq 0. Logo o domínio é
\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}.
• Interseção com o eixo y: ocorre em x=0, mas 0\notin domínio. Não há intercepto em y.
• Interseção com o eixo x: resolver
f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x + \frac{8}{x} + 2 = 0.
Multiplicando por x (com x\neq0):
2x^2 + 2x + 8 = 0,
\Delta = 2^2 -4\cdot2\cdot8 = 4 - 64 = -60 < 0.
Nenhuma raiz real, logo nenhum intercepto em x.

Passo 3

Estudar monotonicidade e extremos locais.
  1. Derivada primeira:
f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(2x + 8x^{-1} + 2\Bigr) = 2 - 8x^{-2} = 2 - \frac{8}{x^2}.
  1. Pontos críticos: resolver f'(x)=0:
2 = \frac{8}{x^2} \;\Longrightarrow\; x^2 = 4 \;\Longrightarrow\;x = \pm 2.
Além disso f' não está definida em x=0.
3. Sinal de f':
  • Se |x|>2, então x^2>4 e 2 - 8/x^2>0: f'\!>\!0.
  • Se 0<|x|<2, então x^2<4 e 2 - 8/x^2<0: f'\!<\!0.
  1. Conclusão sobre monotonicidade:
    • Cresce em (-\infty,-2) e em (2,\infty).
    • Decresce em (-2,0) e em (0,2).
  2. Extremos locais:
    • Em x=-2: de crescente para decrescente ⇒ máximo local em x=-2, com
f(-2) = 2(-2) + \tfrac{8}{-2} + 2 = -4 -4 +2 = -6.
• Em x=2: de decrescente para crescente ⇒ mínimo local em x=2, com
f(2) = 2\cdot2 + \tfrac{8}{2} + 2 = 4 + 4 +2 = 10.
  1. Extremos globais:
    • Como f(x)\to -\infty quando x\to-\infty e f(x)\to -\infty quando x\to0^-, o máximo local -6 em -2 é também máximo global no ramo x<0.
    • Como f(x)\to +\infty quando x\to0^+ e f(x)\to+\infty quando x\to+\infty, o mínimo local 10 em 2 não é mínimo global.

Passo 4

Estudar concavidade e pontos de inflexão.
  1. Derivada segunda:
f''(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(2 - 8x^{-2}\Bigr) = 16x^{-3} = \frac{16}{x^3}.
  1. Sinal de f'':
    • Se x>0, então f''(x)>0: concavidade para cima em (0,\infty).
    • Se x<0, então f''(x)<0: concavidade para baixo em (-\infty,0).
  2. Pontos de inflexão: mudaria sinal de f'' em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio. Logo não há ponto de inflexão no domínio.

Passo 5

Determinar assíntotas.
  1. Vertical em x=0.
  2. Oblíqua para x\to\pm\infty: dividir
f(x) = 2x + 2 + \frac{8}{x}.
Quando x\to\pm\infty, \tfrac{8}{x}\to0, logo a reta
y = 2x + 2
é assíntota oblíqua.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
• Dois ramos separados pelo eixo vertical x=0.
• Para x<0: sobe até (-2,-6) (máximo global no ramo esquerdo) e depois cai verticalmente, concavidade para baixo.
• Para x>0: cai do infinito, atinge o mínimo em (2,10), depois sobe, concavidade para cima.
• Aproximação da reta y=2x+2 para x\to\pm\infty.

Resposta

• Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
• Interseções: nenhuma com os eixos.
• Pontos críticos: x=-2 (máx.\ local e global no ramo esquerdo, f(-2)=-6), x=2 (mín.\ local, f(2)=10).
• Monotonicidade: crescente em (-\infty,-2) e (2,\infty); decrescente em (-2,0) e (0,2).
• Extremos globais: máximo global -6 em x=-2; não há mínimo global.
• Concavidade: para baixo em (-\infty,0); para cima em (0,\infty).
• Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
• Assíntotas: vertical x=0; oblíqua y=2x+2.
• Esboço: dois ramos, conforme descrito acima.

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