Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa de
• domínio, interseções com os eixos, pontos críticos, monotonicidade, extremos locais e globais;
• concavidade, pontos de inflexão;
• assíntotas;
• esboço do gráfico;
para a função
• domínio, interseções com os eixos, pontos críticos, monotonicidade, extremos locais e globais;
• concavidade, pontos de inflexão;
• assíntotas;
• esboço do gráfico;
para a função
Vamos usar derivadas para monotonicidade e concavidade, além de limites para assíntotas.
Passo 2
Determinar domínio e interseções com os eixos.
• O termo exige
. Logo o domínio é
• O termo
• Interseção com o eixo
: ocorre em
, mas
domínio. Não há intercepto em
.
• Interseção com o eixo : resolver
• Interseção com o eixo
Multiplicando por
(com
):
Nenhuma raiz real, logo nenhum intercepto em
.
Passo 3
Estudar monotonicidade e extremos locais.
- Derivada primeira:
- Pontos críticos: resolver
:
Além disso
não está definida em
.
3. Sinal de :
3. Sinal de
- Se
, então e : . - Se
, então e : .
- Conclusão sobre monotonicidade:
• Cresce eme em .
• Decresce eme em . - Extremos locais:
• Em: de crescente para decrescente ⇒ máximo local em , com
• Em
: de decrescente para crescente ⇒ mínimo local em
, com
- Extremos globais:
• Comoquando e quando , o máximo local em é também máximo global no ramo .
• Comoquando e quando , o mínimo local em não é mínimo global.
Passo 4
Estudar concavidade e pontos de inflexão.
- Derivada segunda:
- Sinal de
:
• Se, então : concavidade para cima em .
• Se, então : concavidade para baixo em . - Pontos de inflexão: mudaria sinal de
em , mas não pertence ao domínio. Logo não há ponto de inflexão no domínio.
Passo 5
Determinar assíntotas.
- Vertical em
. - Oblíqua para
: dividir
Quando
,
, logo a reta
é assíntota oblíqua.
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
• Dois ramos separados pelo eixo vertical .
• Para : sobe até
(máximo global no ramo esquerdo) e depois cai verticalmente, concavidade para baixo.
• Para : cai do infinito, atinge o mínimo em
, depois sobe, concavidade para cima.
• Aproximação da reta para
.
• Dois ramos separados pelo eixo vertical
• Para
• Para
• Aproximação da reta
Resposta
• Domínio:
.
• Interseções: nenhuma com os eixos.
• Pontos críticos: (máx.\ local e global no ramo esquerdo,
),
(mín.\ local,
).
• Monotonicidade: crescente em e
; decrescente em
e
.
• Extremos globais: máximo global em
; não há mínimo global.
• Concavidade: para baixo em ; para cima em
.
• Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
• Assíntotas: vertical ; oblíqua
.
• Esboço: dois ramos, conforme descrito acima.
• Interseções: nenhuma com os eixos.
• Pontos críticos:
• Monotonicidade: crescente em
• Extremos globais: máximo global
• Concavidade: para baixo em
• Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
• Assíntotas: vertical
• Esboço: dois ramos, conforme descrito acima.