Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função racional
Precisamos determinar o domínio, interceptos com eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e fazer um esboço do gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, basta garantir que o denominador não seja zero:
Logo o domínio é
.
Os interceptos:
– Intercepto em :
Os interceptos:
– Intercepto em
logo ponto
.
– Intercepto em :
– Intercepto em
logo ponto
.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira por quociente:
Como o numerador é sempre
e o denominador é positivo
, temos
em todo o domínio.
Não há pontos onde nem onde ela muda de sinal além de
(fora do domínio).
Portanto é estritamente decrescente em
e em
e não há extremós locais ou globais.
Não há pontos onde
Portanto
Passo 4
Derivando novamente para concavidade: escrevemos
então
Assim:
– Para ,
dá
: concavidade para baixo.
– Para ,
dá
: concavidade para cima.
Não há ponto de inflexão em domínio, pois não pertence à função.
– Para
– Para
Não há ponto de inflexão em domínio, pois
Passo 5
Assíntotas:
– Vertical em , pois o denominador anula aí e o limite é
.
– Para ,
– Vertical em
– Para
logo horizontal
.
Não há assíntotas oblíquas além dessa.
Não há assíntotas oblíquas além dessa.
Passo 6
Esboço do gráfico: trata-se de uma hipérbole decrescente que cruza os eixos em
e
, aproxima-se de
verticalmente e de
horizontalmente, com concavidade trocando em
.
Resposta
Domínio:
Interceptos: ,
Pontos críticos: nenhum
Crescimento/decrescimento: estritamente decrescente em e
Extremos: não há extremos locais nem globais
Concavidade: côncavo para baixo em , côncavo para cima em
Pontos de inflexão: nenhum em domínio
Assíntotas: vertical , horizontal
Esboço: hipérbole decrescente com os comportamentos descritos acima.
Interceptos:
Pontos críticos: nenhum
Crescimento/decrescimento: estritamente decrescente em
Extremos: não há extremos locais nem globais
Concavidade: côncavo para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum em domínio
Assíntotas: vertical
Esboço: hipérbole decrescente com os comportamentos descritos acima.