Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{3-4 x}{2 x+2}

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função racional
f(x)=\frac{3-4x}{2x+2}
Precisamos determinar o domínio, interceptos com eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e fazer um esboço do gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, basta garantir que o denominador não seja zero:
2x+2\neq0\implies x\neq-1.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Os interceptos:
– Intercepto em x:
f(x)=0\implies 3-4x=0\implies x=\tfrac34,
logo ponto \bigl(\tfrac34,0\bigr).
– Intercepto em y:
f(0)=\frac{3}{2}= \tfrac32,
logo ponto \bigl(0,\tfrac32\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada primeira por quociente:
f'(x) =\frac{(-4)(2x+2)-(3-4x)\cdot2}{(2x+2)^2} =\frac{-8x-8-6+8x}{(2x+2)^2} =\frac{-14}{(2x+2)^2}.
Como o numerador é sempre -14 e o denominador é positivo x\neq-1, temos f'(x)<0 em todo o domínio.
Não há pontos onde f'(x)=0 nem onde ela muda de sinal além de x=-1 (fora do domínio).
Portanto f é estritamente decrescente em (-\infty,-1) e em (-1,\infty) e não há extremós locais ou globais.

Passo 4

Derivando novamente para concavidade: escrevemos
f'(x)=-\frac{7}{2(x+1)^2},
então
f''(x) =-\frac{7}{2}\cdot(-2)(x+1)^{-3} =\frac{7}{(x+1)^3}.
Assim:
– Para x<-1, x+1<0 f''(x)<0: concavidade para baixo.
– Para x>-1, x+1>0 f''(x)>0: concavidade para cima.
Não há ponto de inflexão em domínio, pois x=-1 não pertence à função.

Passo 5

Assíntotas:
– Vertical em x=-1, pois o denominador anula aí e o limite é \pm\infty.
– Para x\to\pm\infty,
f(x)\sim\frac{-4x}{2x}=-2,
logo horizontal y=-2.
Não há assíntotas oblíquas além dessa.

Passo 6

Esboço do gráfico: trata-se de uma hipérbole decrescente que cruza os eixos em \bigl(0,\tfrac32\bigr) e \bigl(\tfrac34,0\bigr), aproxima-se de x=-1 verticalmente e de y=-2 horizontalmente, com concavidade trocando em x=-1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-1\}
Interceptos: \bigl(0,\tfrac32\bigr), \bigl(\tfrac34,0\bigr)
Pontos críticos: nenhum
Crescimento/decrescimento: estritamente decrescente em (-\infty,-1) e (-1,\infty)
Extremos: não há extremos locais nem globais
Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,-1), côncavo para cima em (-1,\infty)
Pontos de inflexão: nenhum em domínio
Assíntotas: vertical x=-1, horizontal y=-2
Esboço: hipérbole decrescente com os comportamentos descritos acima.

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