Encontre, caso existam, os limites abaixo:
lim x infty 3 x^6 sen(6 x^5)4 x^3-4 x^7+3

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty 3 x^6 sin(6 x^5)4 x^3 - 4 x^7 + 3.
Esse exercício envolve o estudo de limites no infinito e o comportamento de funções trigonométricas para valores muito grandes de x. Para resolver, precisamos entender como cada parte da função se comporta conforme x cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: 4 x^3 - 4 x^7 + 3.
Quando x tende para o infinito, os termos com maiores potências de x dominam o comportamento da função. Aqui, o termo $ -4x^{7} $ é o que mais cresce, então podemos simplificar dizendo que o denominador se comporta aproximadamente como -4x^7 para -4x^7 muito grande.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: 3 x^6 sin(6 x^5).
Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin(6 x^5) <= 1. Isso significa que o numerador está limitado por -3x^6 e 3x^6.

Passo 4

Vamos usar essa informação para estabelecer uma estimativa para a fração completa:
- 3x^64x^7 <= 3 x^6 sin(6 x^5)4 x^3 - 4 x^7 + 3 <= 3x^64x^7
Simplificando $ \frac{3x{6}}{4x{7}} $, obtemos $ \frac{3}{4x} $.

Passo 5

Então, temos:
- 34x <= 3 x^6 sin(6 x^5)4 x^3 - 4 x^7 + 3 <= 34x
À medida que x tende para o infinito, 34x tende a zero. Assim, pelo Teorema do Sandwich (também conhecido como Teorema da Convergência), se os limites das duas “casas” são iguais, o limite da função intermediária também será esse valor.

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x infty 3 x^6 sin(6 x^5)4 x^3 - 4 x^7 + 3 = 0

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