Encontre, caso existam, os limites abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o limite
.
Esse exercício envolve o estudo de limites no infinito e o comportamento de funções trigonométricas para valores muito grandes de . Para resolver, precisamos entender como cada parte da função se comporta conforme
cresce sem limites.
Esse exercício envolve o estudo de limites no infinito e o comportamento de funções trigonométricas para valores muito grandes de
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
.
Quando tende para o infinito, os termos com maiores potências de
dominam o comportamento da função. Aqui, o termo $ -4x^{7} $ é o que mais cresce, então podemos simplificar dizendo que o denominador se comporta aproximadamente como
para
muito grande.
Quando
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador:
.
Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1, ou seja, . Isso significa que o numerador está limitado por
e
.
Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1, ou seja,
Passo 4
Vamos usar essa informação para estabelecer uma estimativa para a fração completa:
Simplificando $ \frac{3x{6}}{4x{7}} $, obtemos $ \frac{3}{4x} $.
Passo 5
Então, temos:
À medida que
tende para o infinito,
tende a zero. Assim, pelo Teorema do Sandwich (também conhecido como Teorema da Convergência), se os limites das duas “casas” são iguais, o limite da função intermediária também será esse valor.
Resposta
Portanto, o limite é: