Mostre que a equação
tem solução na reta, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, e que essa solução é única utilizando o Teorema do Valor Médio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação $ X^{3} + X - 1 = 0 $ tem pelo menos uma solução na reta dos números reais usando o Teorema do Valor Intermediário. Depois, precisamos provar que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio. Vamos precisar entender como esses teoremas funcionam e aplicar eles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função $ f(X) = X^{3} + X - 1 $. A ideia é usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função é contínua em um intervalo
e assume valores de sinais opostos nesses pontos, então existe pelo menos um ponto $ c $ entre $ a $ e $ b $ onde $ f© = 0 $.
Passo 3
Vamos verificar se a função $ f(X) $ é contínua. Como $ f(X) $ é um polinômio, ele é contínuo em todo o seu domínio, ou seja, em todos os números reais. Isso é importante porque o TVI só funciona para funções contínuas.
Passo 4
Agora, escolhemos dois valores de $ X $ para encontrar sinais opostos. Vamos testar $ X = 0 $ e $ X = 1 $:
-
Para $ X = 0 $:
-
Para $ X = 1 $:
Vimos que $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = 1 $. Ou seja, a função passa de negativo para positivo nesse intervalo.
Passo 5
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, como $ f(X) $ é contínua no intervalo
e assume valores de sinais opostos, existe pelo menos um $ c $ em
tal que $ f© = 0 $. Portanto, a equação $ X^{3} + X - 1 = 0 $ tem pelo menos uma solução real nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM afirma que se uma função é diferenciável em um intervalo
, então existe pelo menos um ponto $ c $ em
onde a derivada $ f’© $ é igual à inclinação da reta que liga $ (a, f(a)) $ a $ (b, f(b)) $.
Passo 7
Vamos calcular a derivada da nossa função:
Note que $ f’(X) = 3X^{2} + 1 $ é sempre positiva para todo $ X $ real, porque $ 3X^{2} \geq 0 $ e somando 1 ainda fica positivo. Isso significa que a função $ f(X) $ é estritamente crescente em todo o seu domínio.
Passo 8
Como $ f(X) $ é estritamente crescente, ela não pode cruzar o eixo $ X $ mais de uma vez. Se tivesse duas soluções $ c_1 $ e $ c_2 $ com $ c_1 < c_2 $, teríamos $ f(c_1) = f(c_2) = 0 $, o que não é possível já que a função não diminui. Portanto, a solução encontrada pelo Teorema do Valor Intermediário é única.
Resposta
A equação $ X^{3} + X - 1 = 0 $ tem exatamente uma solução real.