Encontre, caso existam, os limites abaixo:
lim x -infty raizx^2+5-raizx^2-7 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -∞ raizx^2+5-raizx^2-7 x+2
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites no infinito, principalmente com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado dela. Isso ajuda a eliminar as raízes e facilitar a simplificação. O conjugado de raizx^2+5-raizx^2-7 x+2 é raizx^2+5+raizx^2-7 x+2. Então, multiplicamos:
(raizx^2+5-raizx^2-7 x+2) times raizx^2+5+raizx^2-7 x+2raizx^2+5+raizx^2-7 x+2

Passo 3

Ao fazer essa multiplicação, aplicamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Assim, o numerador fica:
(raizx^2+5)^2 - (raizx^2-7 x+2)^2 = (x^2+5) - (x^2-7 x+2) = x^2+5 -x^2+7x-2 = 7x +3
Portanto, a expressão fica:
7x +3raizx^2+5+raizx^2-7 x+2

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento das raízes quando x tende a -∞. Observamos que, para valores muito grandes de |x|, as constantes 5, -7x e 2 se tornam menos significativas comparadas aos termos que envolvem x^2 ou x. Então, podemos simplificar as raízes:
raizx^2+5 approx |x| e raizx^2-7x+2 approx |x|
Como x está tendendo a -∞, |x| = -x.

Passo 5

Substituindo as aproximações na expressão, temos:
7x +3-x + (-x) = 7x +3-2x
Agora, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
7x-2x + 3-2x = -72 + -32x

Passo 6

Quando x -∞, o termo -32x tende a 0, porque o denominador cresce sem limites e o numerador permanece constante. Portanto, o limite da expressão toda fica:
-72 + 0 = -72

Resposta

O limite é -dfrac72.

Exercícios relacionados