Encontre, caso existam, os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites no infinito, principalmente com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado dela. Isso ajuda a eliminar as raízes e facilitar a simplificação. O conjugado de
é
. Então, multiplicamos:
Passo 3
Ao fazer essa multiplicação, aplicamos a identidade
. Assim, o numerador fica:
Portanto, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento das raízes quando
tende a
. Observamos que, para valores muito grandes de
, as constantes 5, -7x e 2 se tornam menos significativas comparadas aos termos que envolvem
ou
. Então, podemos simplificar as raízes:
Como
está tendendo a
,
.
Passo 5
Substituindo as aproximações na expressão, temos:
Agora, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 6
Quando
, o termo
tende a 0, porque o denominador cresce sem limites e o numerador permanece constante. Portanto, o limite da expressão toda fica:
Resposta
O limite é
.