Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
f(x, y)=x^{3}+3 y^{2} x+10 x y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{3}+3y^{2}x+10xy.
  • Classificar cada ponto crítico, se possível, como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
As informações dadas são apenas a expressão de f(x,y). A função é um polinômio em x e y, logo é diferenciável em todo \mathbb{R}^2 e os pontos críticos são exatamente os pontos onde o gradiente é o vetor nulo.

Passo 2

Definição e plano de ação (curta e direta): um ponto (x,y) é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras se anularem ali:
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Vou calcular as derivadas parciais usando regras básicas: derivada de x^n é n x^{n-1} (regra da potência) e derivada de termo com produto x\cdot g(y) trata-se só de multiplicar pela constante quando derivando em relação à outra variável.
Calculemos as parciais:
Em primeiro lugar,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(3y^{2}x\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(10xy\big).
Usando regra da potência e que y é constante ao derivar em x,
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+3y^{2}+10y.
Agora a parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(3y^{2}x\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(10xy\big).
Aqui x é tratado como constante. O primeiro termo some:
\frac{\partial f}{\partial y}=0 + 6xy + 10x = x(6y+10).
Portanto o sistema para pontos críticos é
\begin{cases} 3x^{2}+3y^{2}+10y=0,\\[4pt] x(6y+10)=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema: da segunda equação temos duas possibilidades (fatoração simples):
x=0\quad\text{ou}\quad 6y+10=0.
Trataremos cada caso separadamente.
Caso A: x=0. Substituindo na primeira equação:
3\cdot 0^{2}+3y^{2}+10y=0 \quad\Rightarrow\quad 3y^{2}+10y=0.
Fatorando y:
y(3y+10)=0,
logo y=0 ou 3y+10=0\Rightarrow y=-\dfrac{10}{3}.
Portanto do caso x=0 obtemos dois pontos críticos:
(0,0)\quad\text{e}\quad\left(0,-\dfrac{10}{3}\right).

Passo 4

Caso B: 6y+10=0. Então
y=-\dfrac{10}{6}=-\dfrac{5}{3}.
Substituir y=-\dfrac{5}{3} na primeira equação:
3x^{2}+3\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{2}+10\left(-\dfrac{5}{3}\right)=0.
Calcule passo a passo os termos numéricos. Primeiro
\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{25}{9},
então
3x^{2}+3\cdot \dfrac{25}{9}+10\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)=0.
Simplificando os coeficientes:
3x^{2}+\dfrac{75}{9}-\dfrac{50}{3}=0.
Colocar em denominador comum 9:
3x^{2}+\dfrac{75}{9}-\dfrac{150}{9}=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-\dfrac{75}{9}=0.
Observando que \dfrac{75}{9}=\dfrac{25}{3}, podemos escrever
3x^{2}-\dfrac{25}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=\dfrac{25}{3}.
Dividindo ambos os lados por 3:
x^{2}=\dfrac{25}{9} \quad\Rightarrow\quad x=\pm \dfrac{5}{3}.
Assim do caso y=-\dfrac{5}{3} obtemos dois pontos críticos:
\left(\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right)\quad\text{e}\quad\left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right).

Passo 5

Resumo dos pontos críticos encontrados:
(0,0),\qquad \left(0,-\dfrac{10}{3}\right),\qquad \left(\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right),\qquad \left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right).
Agora vamos classificá-los.

Passo 6

Regra de classificação (teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis): construir a matriz Hessiana H cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
No ponto crítico calculamos o discriminante
D=\det H = f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
As conclusões são:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 7

Calcular as segundas derivadas de f. Partindo das parciais obtidas antes:
f_x=3x^{2}+3y^{2}+10y,\qquad f_y=x(6y+10).
Derivando novamente:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+3y^{2}+10y)=6x,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x(6y+10)\big)=6x,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+3y^{2}+10y)=6y+10.
(Observe que f_{xy}=f_{yx} como esperado porque f tem derivadas contínuas.)
Portanto a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}6x & 6y+10\\[4pt] 6y+10 & 6x\end{pmatrix}
e o determinante vale
D=36x^{2}-(6y+10)^{2}.]

Passo 8

Avaliar D e f_{xx}=6x em cada ponto crítico e aplicar o teste.
  1. Ponto (0,0):
f_{xx}=6\cdot 0=0,\qquad 6y+10=10,
D=36\cdot 0^{2}-10^{2}=-100<0.
Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
  1. Ponto \displaystyle\left(0,-\dfrac{10}{3}\right):
f_{xx}=6\cdot 0=0,\qquad 6y+10=6\left(-\dfrac{10}{3}\right)+10=-20+10=-10,
D=36\cdot 0^{2}-(-10)^{2}=-100<0.
Novamente D<0, logo \left(0,-\dfrac{10}{3}\right) é ponto de sela.
  1. Ponto \displaystyle\left(\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right):
f_{xx}=6\cdot \dfrac{5}{3}=10>0,
6y+10=6\left(-\dfrac{5}{3}\right)+10=-10+10=0,
D=36\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}-0^{2}=36\cdot \dfrac{25}{9}=4\cdot 25=100>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, esse ponto é um mínimo local.
  1. Ponto \displaystyle\left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right):
f_{xx}=6\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)=-10<0,
6y+10=0\\ \text{(mesmo cálculo que acima)},á
D=36\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{2}-0^{2}=100>0.
Aqui D>0 e f_{xx}<0, logo é um máximo local.

Passo 9

Conclusão: os quatro pontos críticos foram encontrados e classificados conforme o teste das segundas derivadas.
Força aí — já era metade do caminho: achamos e classificamos todos os pontos críticos com contas que cabem em prova sem calculadora.

Resposta

(0,0) — ponto de sela
\left(0,-\dfrac{10}{3}\right) — ponto de sela
\left(\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right) — mínimo local
\left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3}\right) — máximo local

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