Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Encontrar os pontos críticos da função
- Classificar cada ponto crítico, se possível, como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
As informações dadas são apenas a expressão de
. A função é um polinômio em
e
, logo é diferenciável em todo
e os pontos críticos são exatamente os pontos onde o gradiente é o vetor nulo.
Passo 2
Definição e plano de ação (curta e direta): um ponto
é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras se anularem ali:
Vou calcular as derivadas parciais usando regras básicas: derivada de
é
(regra da potência) e derivada de termo com produto
trata-se só de multiplicar pela constante quando derivando em relação à outra variável.
Calculemos as parciais:
Em primeiro lugar,
Usando regra da potência e que
é constante ao derivar em
,
Agora a parcial em relação a
:
Aqui
é tratado como constante. O primeiro termo some:
Portanto o sistema para pontos críticos é
Passo 3
Resolver o sistema: da segunda equação temos duas possibilidades (fatoração simples):
Trataremos cada caso separadamente.
Caso A:
. Substituindo na primeira equação:
Fatorando
:
logo
ou
.
Portanto do caso
obtemos dois pontos críticos:
Passo 4
Caso B:
. Então
Substituir
na primeira equação:
Calcule passo a passo os termos numéricos. Primeiro
então
Simplificando os coeficientes:
Colocar em denominador comum
:
Observando que
, podemos escrever
Dividindo ambos os lados por
:
Assim do caso
obtemos dois pontos críticos:
Passo 5
Resumo dos pontos críticos encontrados:
Agora vamos classificá-los.
Passo 6
Regra de classificação (teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis): construir a matriz Hessiana
cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
No ponto crítico calculamos o discriminante
As conclusões são:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.]
Passo 7
Calcular as segundas derivadas de
. Partindo das parciais obtidas antes:
Derivando novamente:
(Observe que
como esperado porque
tem derivadas contínuas.)
Portanto a Hessiana é
e o determinante vale
Passo 8
Avaliar
e
em cada ponto crítico e aplicar o teste.
- Ponto
:
Como
,
é ponto de sela.
- Ponto
:
Novamente
, logo
é ponto de sela.
- Ponto
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
- Ponto
:
Aqui
e
, logo é um máximo local.
Passo 9
Conclusão: os quatro pontos críticos foram encontrados e classificados conforme o teste das segundas derivadas.
Força aí — já era metade do caminho: achamos e classificamos todos os pontos críticos com contas que cabem em prova sem calculadora.