Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
f(x, y)=4 y^{2}-y^{2}+8 x y-10 x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, caso existam, os pontos críticos da função e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela). A função fornecida é
f(x,y)=4y^{2}-y^{2}+8xy-10x.
Informações dadas que usarei: a expressão da função (nota: 4y^{2}-y^{2} pode ser simplificada) e a tarefa de encontrar e classificar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro simplificar a função para evitar erros bobos. Somando os termos em y^{2},
4y^{2}-y^{2}=3y^{2},
portanto
f(x,y)=3y^{2}+8xy-10x.
Agora vou calcular as derivadas parciais de primeira ordem. O que é uma derivada parcial? É a taxa de variação da função em relação a uma variável enquanto a outra é mantida fixa. Para funções de duas variáveis f(x,y) procuramos as derivadas parciais f_x e f_y.
Calculemos:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}+8xy-10x\bigr)=8y-10,
porque 3y^{2} é tratado como constante em relação a x, 8xy derivando em relação a x 8y e -10x -10.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}+8xy-10x\bigr)=6y+8x,
porque a derivada de 3y^{2} em relação a y é 6y, de 8xy em relação a y é 8x e -10x é constante em y.
Pontos críticos são soluções do sistema
\begin{cases} f_x(x,y)=0,\\[4pt] f_y(x,y)=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema:
\begin{cases} 8y-10=0,\\[4pt] 6y+8x=0. \end{cases}
Da primeira equação:
8y-10=0 \quad\Rightarrow\quad 8y=10 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}.
Substituir y=\dfrac{5}{4} na segunda equação para achar x:
6\left(\dfrac{5}{4}\right)+8x=0.
Calcule 6\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{30}{4}=\dfrac{15}{2}. Então
\dfrac{15}{2}+8x=0 \quad\Rightarrow\quad 8x=-\dfrac{15}{2}\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{15}{16}.
Portanto existe um único ponto crítico:
\left(x,y\right)=\left(-\dfrac{15}{16},\,\dfrac{5}{4}\right).]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico uso a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. O que é a matriz Hessiana? É a matriz das derivadas parciais de segunda ordem:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}, etc. Para duas variáveis, o teste padrão é calcular
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}
no ponto crítico. As regras são:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas da nossa função:
f_x(x,y)=8y-10 \implies f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(8y-10)=0,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(8y-10)=8,
f_y(x,y)=6y+8x \implies f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(6y+8x)=6,
e f_{yx}=f_{xy}=8 (condição de Schwarz vale aqui, as derivadas cruzadas coincidem).]

Passo 5

Calcular D no ponto crítico (as derivadas de segunda ordem são constantes, valem em qualquer ponto):
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=0\cdot 6 - 8^{2}=-64.
Como D=-64<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela.
Intuição rápida: a presença de um termo misto forte 8xy costuma produzir direções com curvaturas de sinais opostos, o que gera uma sela — e o cálculo do determinante negativo confirma isso.

Resposta

\displaystyle \left(-\dfrac{15}{16},\,\dfrac{5}{4}\right) — ponto de sela.

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