Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar, caso existam, os pontos críticos da função e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela). A função fornecida é
Informações dadas que usarei: a expressão da função (nota:
pode ser simplificada) e a tarefa de encontrar e classificar pontos críticos.
Passo 2
Primeiro simplificar a função para evitar erros bobos. Somando os termos em
,
portanto
Agora vou calcular as derivadas parciais de primeira ordem. O que é uma derivada parcial? É a taxa de variação da função em relação a uma variável enquanto a outra é mantida fixa. Para funções de duas variáveis
procuramos as derivadas parciais
e
.
Calculemos:
porque
é tratado como constante em relação a
,
derivando em relação a
dá
e
dá
.
porque a derivada de
em relação a
é
, de
em relação a
é
e
é constante em
.
Pontos críticos são soluções do sistema
Passo 3
Resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituir
na segunda equação para achar
:
Calcule
. Então
Portanto existe um único ponto crítico:
Passo 4
Para classificar o ponto crítico uso a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. O que é a matriz Hessiana? É a matriz das derivadas parciais de segunda ordem:
onde
,
, etc. Para duas variáveis, o teste padrão é calcular
no ponto crítico. As regras são:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas da nossa função:
e
(condição de Schwarz vale aqui, as derivadas cruzadas coincidem).]
Passo 5
Calcular
no ponto crítico (as derivadas de segunda ordem são constantes, valem em qualquer ponto):
Como
, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela.
Intuição rápida: a presença de um termo misto forte
costuma produzir direções com curvaturas de sinais opostos, o que gera uma sela — e o cálculo do determinante negativo confirma isso.