Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
f(x, y)=x^{3}+y^{3}+3 y^{2}-12 x

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre, se existirem, os pontos críticos da função e os classifique (máximo, mínimo ou sela). A função dada é
f(x,y)=x^{3}+y^{3}+3y^{2}-12x.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função é um polinômio em (x,y), logo é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
  • O que se pede:
    • encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe);
    • classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, quando possível.

Passo 2

Definição e cálculo das derivadas parciais (que formam o gradiente).
Explicação curta: um ponto crítico em uma função de duas variáveis é um ponto onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam (ou não existem). Para funções suaves como esta, basta resolver \nabla f=(0,0).
Calculo das derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\text{derivada de }x^3-12x\text{ em }x = 3x^2-12,
f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\text{derivada de }y^3+3y^2\text{ em }y = 3y^2+6y.
Observação: aqui \nabla f=(f_x,f_y). Cada termo foi derivado como nas regras básicas: \frac{d}{dx}x^3=3x^2, \frac{d}{dx}(-12x)=-12, \frac{d}{dy}y^3=3y^2, \frac{d}{dy}3y^2=6y.

Passo 3

Encontrar os pontos onde \nabla f=(0,0)\), ou seja resolver o sistema \[\begin{cases} 3x^2-12=0,\\[4pt] 3y^2+6y=0. \end{cases}
Resolver cada equação:
3x^2-12=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
3y^2+6y=0 \quad\Rightarrow\quad 3y(y+2)=0 \quad\Rightarrow\quad y=0\\ \text{ou}\\ y=-2.
Como as equações são independentes em x\] e \(y, os pontos críticos são todas as combinações dos valores obtidos para x e y. Logo os pontos críticos são:
(2,0),\quad (-2,0),\quad (2,-2),\quad (-2,-2).]

Passo 4

Como classificar? Usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas para duas variáveis.
Definições e fórmula:
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • O discriminante associado (às vezes chamado D) é
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
Regra de classificação (segundo teste das segundas derivadas em \mathbb{R}^2):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calcular as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^2-12)=6x,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(3y^2+6y)=6y+6=6(y+1),
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^2-12)=0\quad\text{(e }f_{yx}=0\text{)}.
Portanto
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (6x)\cdot 6(y+1) - 0 = 36\,x\,(y+1).]

Passo 5

Avaliar f_{xx},f_{yy},D em cada ponto crítico e classificar, passo a passo.
  1. Ponto (2,0):
f_{xx}=6\cdot 2=12,\qquad f_{yy}=6(0+1)=6,
D=36\cdot 2\cdot(0+1)=72>0.
Como D>0 e f_{xx}=12>0, concluímos que (2,0) é um mínimo local.
  1. Ponto (-2,0):
f_{xx}=6\cdot(-2)=-12,\qquad f_{yy}=6(0+1)=6,
D=36\cdot(-2)\cdot(0+1)=-72<0.
Como D<0, (-2,0) é um ponto de sela (saddle).
  1. Ponto (2,-2):
f_{xx}=6\cdot 2=12,\qquad f_{yy}=6(-2+1)=6(-1)=-6,
D=36\cdot 2\cdot(-2+1)=36\cdot 2\cdot(-1)=-72<0.
Como D<0, (2,-2) é um ponto de sela.
  1. Ponto (-2,-2):
f_{xx}=6\cdot(-2)=-12,\qquad f_{yy}=6(-2+1)=-6,
D=36\cdot(-2)\cdot(-2+1)=36\cdot(-2)\cdot(-1)=72>0.
Aqui D>0 e f_{xx}=-12<0, logo (-2,-2) é um máximo local.
Comentário final (intuitivo e animador): temos dois pontos de sela e um mínimo local e um máximo local. Como a função tem termos cúbicos, ela é não limitada (vai para \pm\infty em direções apropriadas), então esses extremos são locais, não necessariamente extremos globais.

Resposta

(2,0): mínimo local
(-2,0): ponto de sela
(2,-2): ponto de sela
(-2,-2): máximo local

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