Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre, se existirem, os pontos críticos da função e os classifique (máximo, mínimo ou sela). A função dada é
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função é um polinômio em
, logo é diferenciável em todo . - O que se pede:
- encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe);
- classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, quando possível.
Passo 2
Definição e cálculo das derivadas parciais (que formam o gradiente).
Explicação curta: um ponto crítico em uma função de duas variáveis é um ponto onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam (ou não existem). Para funções suaves como esta, basta resolver .
Explicação curta: um ponto crítico em uma função de duas variáveis é um ponto onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam (ou não existem). Para funções suaves como esta, basta resolver
Calculo das derivadas parciais:
Observação: aqui
. Cada termo foi derivado como nas regras básicas:
,
,
,
.
Passo 3
Encontrar os pontos onde
Resolver cada equação:
Como as equações são independentes em
, os pontos críticos são todas as combinações dos valores obtidos para
e
. Logo os pontos críticos são:
Passo 4
Como classificar? Usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas para duas variáveis.
Definições e fórmula:
Definições e fórmula:
- A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
- O discriminante associado (às vezes chamado
) é
Regra de classificação (segundo teste das segundas derivadas em
):
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calcular as segundas derivadas:
Portanto
Passo 5
Avaliar
em cada ponto crítico e classificar, passo a passo.
- Ponto
:
Como
e
, concluímos que
é um mínimo local.
- Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela (saddle).
- Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
- Ponto
:
Aqui
e
, logo
é um máximo local.
Comentário final (intuitivo e animador): temos dois pontos de sela e um mínimo local e um máximo local. Como a função tem termos cúbicos, ela é não limitada (vai para
em direções apropriadas), então esses extremos são locais, não necessariamente extremos globais.