Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar, caso existam, os pontos críticos e classificá‑los (máximo, mínimo ou ponto de sela).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de . Nada mais é dado.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de
Passo 2
O que é um ponto crítico? É um ponto
onde o gradiente de
é o vetor nulo ou as derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então procuramos os pontos onde ambas as derivadas parciais se anulam:
Vou calcular as derivadas parciais. Para derivar em relação a
trato
como constante; para derivar em relação a
trato
como constante.
Passo 3
Calcular
. Derivando termo a termo:
-
(não depende de ), -
, -
, -
.
Logo
Agora igualo a zero:
Fatorando:
portanto as soluções são
Passo 4
Calcular
. Derivando termo a termo:
-
, -
, -
, -
.
Logo
Para pontos críticos precisamos de
. Reescrevo isolando
:
Se
então
(as situações com
são tratadas automaticamente pela substituição dos
que achamos no passo anterior; nossos
serão
e
, nenhum deles dá denominação zero).
Agora substituo cada
encontrado:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Portanto os pontos críticos são
Passo 6
Agora vamos classificar cada ponto. Usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Definições e interpretação:
-
é a segunda derivada em . -
é a segunda derivada em . -
é a derivada mista (igual a se for suficientemente regular). - O discriminante
(determinante do Hessiano) em um ponto é
Regras do teste:
- Se
e então ponto de mínimo local. - Se
e então ponto de máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas explicitamente.
Passo 7
Derivadas segundas:
- Já tínhamos
. Derivando em relação a :
(pois
não depende de
).
- Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a (ou em relação a ):
Agora o discriminante geral vale
Observação:
para qualquer
, logo
sempre; e
sempre exceto quando
(nesse caso
).
Passo 8
Avalio
nos pontos críticos encontrados:
- No ponto
tem-se . Então
Como
, conclui‑se que
é um ponto de sela.
- No ponto
tem-se . Então
Logo também
é um ponto de sela.
Breve intuição (pra animar): em cada ponto existe pelo menos uma direção em que
aumenta e outra em que
diminui — isso é exatamente o que significa ser ponto de sela.