Encontre, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo e classifiqueos, se possível, como de máximo, de mínimo ou de sela:
f(x, y)=y^{3}-x y^{2}-4 x y+12 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=y^{3}-x y^{2}-4 x y+12 x
e pede: encontrar, caso existam, os pontos críticos e classificá‑los (máximo, mínimo ou ponto de sela).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de f(x,y). Nada mais é dado.

Passo 2

O que é um ponto crítico? É um ponto (x,y) onde o gradiente de f é o vetor nulo ou as derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então procuramos os pontos onde ambas as derivadas parciais se anulam:
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Vou calcular as derivadas parciais. Para derivar em relação a x trato y como constante; para derivar em relação a y trato x como constante.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{3})=0 (não depende de x),
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x y^{2})=-y^{2},
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-4xy)=-4y,
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(12x)=12.
Logo
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=-y^{2}-4y+12.
Agora igualo a zero:
-y^{2}-4y+12=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}+4y-12=0.
Fatorando:
y^{2}+4y-12=(y+6)(y-2),
portanto as soluções são
y=2 \quad\text{ou}\quad y=-6.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2},
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-x y^{2})=-2xy,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-4xy)=-4x,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(12x)=0.
Logo
f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-2xy-4x.
Para pontos críticos precisamos de f_y=0. Reescrevo isolando x:
3y^{2}-2xy-4x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3y^{2}=x(2y+4).
Se 2y+4\neq0 então
x=\frac{3y^{2}}{2y+4}=\frac{3y^{2}}{2(y+2)}.
(as situações com 2y+4=0 são tratadas automaticamente pela substituição dos y que achamos no passo anterior; nossos y serão 2 e -6, nenhum deles dá denominação zero).
Agora substituo cada y encontrado:
  • Para y=2:
x=\frac{3\cdot 2^{2}}{2(2+2)}=\frac{3\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.
  • Para y=-6:
x=\frac{3\cdot (-6)^{2}}{2(-6+2)}=\frac{3\cdot 36}{2\cdot(-4)}=\frac{108}{-8}=-\frac{27}{2}.

Passo 5

Portanto os pontos críticos são
\left(\frac{3}{2},\,2\right)\quad\text{e}\quad\left(-\frac{27}{2},\,-6\right).

Passo 6

Agora vamos classificar cada ponto. Usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Definições e interpretação:
  • f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} é a segunda derivada em x.
  • f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} é a segunda derivada em y.
  • f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} é a derivada mista (igual a f_{yx} se f for suficientemente regular).
  • O discriminante D (determinante do Hessiano) em um ponto é
D=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
Regras do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto de mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então ponto de máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas explicitamente.

Passo 7

Derivadas segundas:
  • Já tínhamos f_x=-y^{2}-4y+12. Derivando em relação a x:
f_{xx}=0
(pois f_x não depende de x).
  • Derivando f_y=3y^{2}-2xy-4x em relação a y:
f_{yy}=6y-2x.
  • Derivando f_x em relação a y (ou f_y em relação a x):
f_{xy}= -2y-4.
Agora o discriminante geral vale
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=0\cdot(6y-2x)-(-2y-4)^{2}=-(-2y-4)^{2}=-(2y+4)^{2}.
Observação: (2y+4)^{2}\ge 0 para qualquer y, logo D\le 0 sempre; e D<0 sempre exceto quando y=-2 (nesse caso D=0).

Passo 8

Avalio D nos pontos críticos encontrados:
  • No ponto \left(\dfrac{3}{2},2\right) tem-se y=2. Então
D=-(2\cdot 2+4)^{2}=-(4+4)^{2}=-8^{2}=-64<0.
Como D<0, conclui‑se que \left(\dfrac{3}{2},2\right) é um ponto de sela.
  • No ponto \left(-\dfrac{27}{2},-6\right) tem-se y=-6. Então
D=-(2\cdot(-6)+4)^{2}= -(-12+4)^{2}= -(-8)^{2}=-64<0.
Logo também \left(-\dfrac{27}{2},-6\right) é um ponto de sela.
Breve intuição (pra animar): em cada ponto existe pelo menos uma direção em que f aumenta e outra em que f diminui — isso é exatamente o que significa ser ponto de sela.

Resposta

\left(\dfrac{3}{2},\,2\right) — ponto de sela
\left(-\dfrac{27}{2},\,-6\right) — ponto de sela

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