Determine a reta r: y=a x+b cuja distância aos pontos ( 1,0 ); ( 2,1 ) e (3,3) é mínima.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a reta r: y=ax+b cuja distância aos três pontos dados é mínima. Os pontos fornecidos são:
  • P_1=(1,0)
  • P_2=(2,1)
  • P_3=(3,3)
O que se pede explicitamente: encontrar os valores de a e b que definem a reta y=ax+b que “minimiza a distância” destes três pontos à reta.

Passo 2

Escolha do método (explicação amigável): quando o enunciado não especifica que tipo de distância deve ser minimizada, a interpretação padrão em muitos exercícios e provas é minimizar a soma dos quadrados das distâncias verticais (ou seja, minimizar os erros verticais), porque isso dá um problema simples e bem conhecido — a regressão linear por mínimos quadrados — que pode ser resolvida com contas elementares. Outro possível critério é minimizar as distâncias ortogonais (perpendiculares) dos pontos à reta; isso é mais complicado e envolve autovalores/covariância. Para uma prova rápida, vamos usar o critério mais comum e acessível: minimizar a soma dos quadrados dos erros verticais. Vou explicar tudo passo a passo para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Definição dos resíduos e da função objetivo. Para cada ponto P_i=(x_i,y_i) a distância vertical para a reta y=ax+b é o resíduo
r_i = y_i - (a x_i + b).
Queremos os parâmetros a e b que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
S(a,b) = \sum_{i=1}^{3} r_i^2 = \sum_{i=1}^{3} \bigl(y_i - (a x_i + b)\bigr)^2.
Explicação didática: escolhemos quadrados para penalizar erros grandes e para obter uma função suave e diferenciável; minimizar S é uma questão de cálculo de derivadas.

Passo 4

Condições de mínimo (equações normais). Para minimizar S(a,b) tomamos as derivadas parciais em relação a a e b e igualamos a zero (condições necessárias e suficientes aqui, pois S é uma forma quadrática convexa):
\frac{\partial S}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^{3} x_i\bigl(y_i - (a x_i + b)\bigr)=0,
\frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^{3} \bigl(y_i - (a x_i + b)\bigr)=0.
Simplificando (tirando o -2 comum), obtemos o sistema linear (as chamadas equações normais):
\sum_{i=1}^{3} x_i y_i = a\sum_{i=1}^{3} x_i^2 + b\sum_{i=1}^{3} x_i,
\sum_{i=1}^{3} y_i = a\sum_{i=1}^{3} x_i + 3b.
Outra forma muito útil — e mais curta — usa as médias das coordenadas. Defina as médias
\bar{x}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3} x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3} y_i.
Então a solução para a e b pode ser escrita como
a=\frac{\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})^2}, \qquad b=\bar{y}-a\bar{x}.
Explicando: o numerador é a covariância amostral (produto cruzado centralizado) e o denominador é a variância de x. Essas fórmulas vêm diretamente das equações normais e são muito práticas em cálculos à mão.

Passo 5

Calcular as médias para nossos pontos (contas detalhadas). Usando os pontos dados:
\bar{x}=\frac{1+2+3}{3}=\frac{6}{3}=2, \qquad \bar{y}=\frac{0+1+3}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Calcular o numerador e denominador da fórmula de a passo a passo. Primeiro vamos listar (x_i-\bar{x}) e (y_i-\bar{y}) para cada ponto:
  • Para P_1=(1,0): x_1-\bar{x}=1-2=-1, y_1-\bar{y}=0-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{4}{3}.
  • Para P_2=(2,1): x_2-\bar{x}=2-2=0, y_2-\bar{y}=1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Para P_3=(3,3): x_3-\bar{x}=3-2=1, y_3-\bar{y}=3-\tfrac{4}{3}=\tfrac{5}{3}.
Agora o numerador:
\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = (-1)\left(-\tfrac{4}{3}\right) + 0\left(-\tfrac{1}{3}\right) + 1\left(\tfrac{5}{3}\right).
Fazendo as contas:
(-1)\left(-\tfrac{4}{3}\right)=\tfrac{4}{3},\qquad 1\left(\tfrac{5}{3}\right)=\tfrac{5}{3},
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\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\tfrac{4}{3}+\tfrac{5}{3}=\tfrac{9}{3}=3.
O denominador:
\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1+0+1=2.

Passo 7

Calcular a e b e interpretar. Usando as somas obtidas:
a=\frac{3}{2}=\tfrac{3}{2}.
E então
b=\bar{y}-a\bar{x}=\tfrac{4}{3}-\tfrac{3}{2}\cdot 2=\tfrac{4}{3}-3=\tfrac{4}{3}-\tfrac{9}{3}=-\tfrac{5}{3}.
Explicação rápida de verificação: S(a,b) é uma função quadrática convexa em a e b, então a solução das equações normais é realmente o mínimo global — isto significa que essa reta é a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados verticais.

Passo 8

Interpretação final e frase de incentivo: a reta encontrada é a que melhor aproxima os pontos em termos de soma dos quadrados dos desvios verticais. Não se assuste com os passos — decorar o procedimento (calcular médias, produto cruzado centralizado, dividir pela variância de x, depois obter b) resolve muitos problemas parecidos na prova. Você está indo bem — só praticar mais alguns exemplos assim e pega o jeito.

Resposta

y=\tfrac{3}{2}x-\tfrac{5}{3}

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