Determine a reta
cuja distância aos pontos ( 1,0 ); ( 2,1 ) e
é mínima.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a reta
cuja distância aos três pontos dados é mínima. Os pontos fornecidos são:
O que se pede explicitamente: encontrar os valores de
e
que definem a reta
que “minimiza a distância” destes três pontos à reta.
Passo 2
Escolha do método (explicação amigável): quando o enunciado não especifica que tipo de distância deve ser minimizada, a interpretação padrão em muitos exercícios e provas é minimizar a soma dos quadrados das distâncias verticais (ou seja, minimizar os erros verticais), porque isso dá um problema simples e bem conhecido — a regressão linear por mínimos quadrados — que pode ser resolvida com contas elementares. Outro possível critério é minimizar as distâncias ortogonais (perpendiculares) dos pontos à reta; isso é mais complicado e envolve autovalores/covariância. Para uma prova rápida, vamos usar o critério mais comum e acessível: minimizar a soma dos quadrados dos erros verticais. Vou explicar tudo passo a passo para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 3
Definição dos resíduos e da função objetivo. Para cada ponto
a distância vertical para a reta
é o resíduo
Queremos os parâmetros
e
que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
Explicação didática: escolhemos quadrados para penalizar erros grandes e para obter uma função suave e diferenciável; minimizar
é uma questão de cálculo de derivadas.
Passo 4
Condições de mínimo (equações normais). Para minimizar
tomamos as derivadas parciais em relação a
e
e igualamos a zero (condições necessárias e suficientes aqui, pois
é uma forma quadrática convexa):
Simplificando (tirando o
comum), obtemos o sistema linear (as chamadas equações normais):
Outra forma muito útil — e mais curta — usa as médias das coordenadas. Defina as médias
Então a solução para
e
pode ser escrita como
Explicando: o numerador é a covariância amostral (produto cruzado centralizado) e o denominador é a variância de
. Essas fórmulas vêm diretamente das equações normais e são muito práticas em cálculos à mão.
Passo 5
Calcular as médias para nossos pontos (contas detalhadas). Usando os pontos dados:
Passo 6
Calcular o numerador e denominador da fórmula de
passo a passo. Primeiro vamos listar
e
para cada ponto:
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
Agora o numerador:
Fazendo as contas:
logo
O denominador:
Passo 7
Calcular
e
e interpretar. Usando as somas obtidas:
E então
Explicação rápida de verificação:
é uma função quadrática convexa em
e
, então a solução das equações normais é realmente o mínimo global — isto significa que essa reta é a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados verticais.
Passo 8
Interpretação final e frase de incentivo: a reta encontrada é a que melhor aproxima os pontos em termos de soma dos quadrados dos desvios verticais. Não se assuste com os passos — decorar o procedimento (calcular médias, produto cruzado centralizado, dividir pela variância de
, depois obter
) resolve muitos problemas parecidos na prova. Você está indo bem — só praticar mais alguns exemplos assim e pega o jeito.