Suponha que lim an=0 e (bn) é uma sequência limitada. Prove que lim an bn=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências:
  • A sequência (an) que tem limite zero, ou seja, limn to infty an = 0.
  • A sequência (bn) que é limitada, o que significa que existe um número M tal que |bn| <= M para todo n.
O objetivo é provar que o limite do produto dessas duas sequências também é zero, ou seja, limn to infty an bn = 0.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de sequências limitadas.

Passo 2

Primeiro, como a sequência (an) tem limite zero, sabemos que conforme n aumenta, os termos an ficam cada vez menores, se aproximando de zero. Formalmente, para qualquer epsilon > 0, existe um número N tal que para todo n > N, |an| < epsilon.

Passo 3

Agora, a sequência (bn) é limitada. Isso significa que existe um número M > 0 tal que para todo n, |bn| <= M. Em outras palavras, os termos de bn não crescem além desse limite M.

Passo 4

Queremos analisar o produto an bn. Vamos ver o que acontece com |an bn|:
|an bn| = |an| cdot |bn|
Como |bn| <= M, podemos substituir:
|an bn| <= |an| cdot M

Passo 5

Agora, como limn to infty an = 0, para qualquer epsilon > 0, podemos escolher N tal que para todo n > N, |an| < epsilonM.

Passo 6

Usando essa escolha de N, temos que para n > N:
|an bn| <= |an| cdot M < epsilonM cdot M = epsilon
Isso mostra que |an bn| pode ser feito menor que qualquer epsilon > 0 escolhendo n suficientemente grande.

Resposta

Portanto, limn to infty an bn = 0.

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