Suponha que
e
é uma sequência limitada. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências:
- A sequência
que tem limite zero, ou seja, . - A sequência
que é limitada, o que significa que existe um número tal que para todo .
O objetivo é provar que o limite do produto dessas duas sequências também é zero, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de sequências limitadas.
Passo 2
Primeiro, como a sequência
tem limite zero, sabemos que conforme
aumenta, os termos
ficam cada vez menores, se aproximando de zero. Formalmente, para qualquer
, existe um número
tal que para todo
,
.
Passo 3
Agora, a sequência
é limitada. Isso significa que existe um número
tal que para todo
,
. Em outras palavras, os termos de
não crescem além desse limite
.
Passo 4
Queremos analisar o produto
. Vamos ver o que acontece com
:
Como
, podemos substituir:
Passo 5
Agora, como
, para qualquer
, podemos escolher
tal que para todo
,
.
Passo 6
Usando essa escolha de
, temos que para
:
Isso mostra que
pode ser feito menor que qualquer
escolhendo
suficientemente grande.
Resposta
Portanto,
.