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Resolva usando escalonamento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o $ N(T) $, que é o núcleo da transformação linear $ T_A $. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de escalonamento, ou seja, colocar a matriz associada à transformação em uma forma mais simples para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo $ N(T) $. O núcleo de uma transformação linear $ T $ consiste em todos os vetores $ \mathbf{v} $ que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Matematicamente, isso significa encontrar todos os $ (x, y, z) $ tais que:
Passo 3
A transformação linear $ T_A $ está definida pela matriz $ A $:
Então, temos que resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que combina os coeficientes das variáveis e as constantes do lado direito das equações:
Passo 5
Agora, vamos usar o método de escalonamento para simplificar essa matriz. O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs (números principais) para facilitar a resolução.
Primeiro, vamos eliminar o $ 2x $ da segunda linha. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela diferença entre ela e 2 vezes a primeira linha:
Calculando:
A matriz fica assim:
Passo 6
Agora, podemos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por $ 10 $ para obter um coeficiente mais simples para $ y $:
A matriz fica:
Passo 7
Em seguida, vamos eliminar o $ -3y $ da primeira linha usando a segunda linha. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à primeira:
Calculando:
A matriz fica:
Passo 8
Agora, temos o sistema escalonado que corresponde às seguintes equações:
Podemos resolver para $ x $ e $ y $ em termos de $ z $:
Passo 9
Como $ z $ é uma variável livre (não está restrita por nenhuma equação), podemos parametrizá-la usando um parâmetro $ t $. Assim, temos:
Substituindo:
Podemos escrever o vetor solução como:
Resposta
O núcleo $ N(T) $ é o conjunto de todos os vetores da forma: