Encontre o N(T).
TA(x, y, z)=(x-3 y+5 z, 2 x+4 y-z)
A=[ccc 1 & -3 & 5 2 & 4 & -1 ]
Resolva usando escalonamento

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o $ N(T) $, que é o núcleo da transformação linear $ T_A $. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de escalonamento, ou seja, colocar a matriz associada à transformação em uma forma mais simples para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo $ N(T) $. O núcleo de uma transformação linear $ T $ consiste em todos os vetores $ \mathbf{v} $ que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Matematicamente, isso significa encontrar todos os $ (x, y, z) $ tais que:
N(T)

Passo 3

A transformação linear $ T_A $ está definida pela matriz $ A $:
TA
Então, temos que resolver o sistema de equações:
A

Passo 4

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que combina os coeficientes das variáveis e as constantes do lado direito das equações:
[ccc|c 1 & -3 & 5 & 0 2 & 4 & -1 & 0 ]

Passo 5

Agora, vamos usar o método de escalonamento para simplificar essa matriz. O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs (números principais) para facilitar a resolução.
Primeiro, vamos eliminar o $ 2x $ da segunda linha. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela diferença entre ela e 2 vezes a primeira linha:
2x
Calculando:
R2 = R2 - 2R1
A matriz fica assim:
2 - 2(1) = 0 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10 -1 - 2(5) = -1 - 10 = -11 0 - 2(0) = 0

Passo 6

Agora, podemos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por $ 10 $ para obter um coeficiente mais simples para $ y $:
10
A matriz fica:
y

Passo 7

Em seguida, vamos eliminar o $ -3y $ da primeira linha usando a segunda linha. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à primeira:
-3y
Calculando:
R1 = R1 + 3R2
A matriz fica:
1 + 3(0) = 1 -3 + 3(1) = 0 5 + 3(-1110) = 5 - 3310 = 1710 0 + 3(0) = 0

Passo 8

Agora, temos o sistema escalonado que corresponde às seguintes equações:
x + 1710z = 0 y - 1110z = 0
Podemos resolver para $ x $ e $ y $ em termos de $ z $:
x

Passo 9

Como $ z $ é uma variável livre (não está restrita por nenhuma equação), podemos parametrizá-la usando um parâmetro $ t $. Assim, temos:
z
Substituindo:
t
Podemos escrever o vetor solução como:
z = t

Resposta

O núcleo $ N(T) $ é o conjunto de todos os vetores da forma:
N(T)

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