4- Encontre o centro de gravidade da lâmina triagular de vértices (0,0),(0,1) e (1,0) e densidade de<a=3.

Passo 1

A lâmina triangular tem vértices em (0,0), (0,1) e (1,0) e densidade uniforme de<a=3. O objetivo é achar o centro de massa l(xC,yCr) usando as fórmulas
M=integral duplaDde<a,dA, xC=1Mintegral duplaD x,de<a,dA, yC=1Mintegral duplaD y,de<a,dA

Passo 2

Vamos descrever a região D como
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x
O total de massa é
M=integral duplaD 3,dA =3integralx=0^1integraly=0^1-xdy,dx =3integral0^1(1-x),dx =3cdot12 =32

Passo 3

Agora calculamos o momento em x:
integral duplaD x,de<a,dA =3integral0^1integral0^1-xx,dy,dx =3integral0^1x(1-x),dx =3l(tfrac12-tfrac13r) =3cdottfrac16 =tfrac12
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xC=1Mintegral duplaD x,de<a,dA =1tfrac32cdottfrac12 =13

Passo 4

Pela simetria do triângulo (os eixos x e y aparecem de modo equivalente), o cálculo para yC dá o mesmo resultado:
yC=1Mintegral duplaD y,de<a,dA =13

Resposta

O centro de gravidade da lâmina é
l(xC,yCr)=l(tfrac13,tfrac13r)

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