3- Um tanque cilíndrico com água tem um raio de 10 pés e uma altura de 30 pés e está cheio até a metade. Qual é o trabalho necessário para bombear toda a água, através do orifício no topo do tanque?

Passo 1

O enunciado dá um tanque cilíndrico de raio 10 pés e altura 30 pés, cheio até a metade (isto é, 15 pés de altura de água), e pede o trabalho necessário para bombear toda a água até o orifício no topo do tanque. Vamos usar cálculo de volumes em fatias horizontais e integrar o peso vezes a distância.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical y com origem no fundo do tanque e y medindo a altura até o topo. Assim cada fatia de água está em y variando de 0 a 15 pés.

Passo 3

Cada fatia de espessura dy é um cilindro de raio 10 pés, então seu volume é
dV = pi,(10)^2,dy = 100pi,dy
O peso específico da água é 62,5, lb/ft^3, logo o peso da fatia é
dWpeso = 62,5 cdot dV = 62,5 cdot 100pi,dy = 6250pi,dy
A distância que essa fatia precisa ser elevada até o topo ( y=30 pés) é
D(y) = 30 - y
Portanto o trabalho para essa fatia é
dW = (peso da fatia) times (distância) = 6250pi,(30 - y),dy â

Passo 4

Somando todas as fatias de y=0 a y=15, o trabalho total é
W = integral0^15 6250pi,(30 - y),dy
Calculando a integral:
W = 6250pi integral0^15 (30 - y),dy = 6250pi l[30y - tfracy^22r]0^15 = 6250pi l(450 - 112,5r) = 6250pi cdot 337,5 = 2,109,375,pi

Resposta

O trabalho necessário é
W = 2,109,375,pi ft!cdot lb
(aproximadamente 6,63times10^6, ft!cdot lb).

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