3- Um tanque cilíndrico com água tem um raio de 10 pés e uma altura de 30 pés e está cheio até a metade. Qual é o trabalho necessário para bombear toda a água, através do orifício no topo do tanque?
Passo 1
O enunciado dá um tanque cilíndrico de raio
pés e altura
pés, cheio até a metade (isto é,
pés de altura de água), e pede o trabalho necessário para bombear toda a água até o orifício no topo do tanque. Vamos usar cálculo de volumes em fatias horizontais e integrar o peso vezes a distância.
Passo 2
Escolhemos um eixo vertical
com origem no fundo do tanque e
medindo a altura até o topo. Assim cada fatia de água está em
variando de
a
pés.
Passo 3
Cada fatia de espessura
é um cilindro de raio
pés, então seu volume é
O peso específico da água é
,
, logo o peso da fatia é
A distância que essa fatia precisa ser elevada até o topo (
pés) é
Portanto o trabalho para essa fatia é
Passo 4
Somando todas as fatias de
a
, o trabalho total é
Calculando a integral:
Resposta
O trabalho necessário é
(aproximadamente
,
).