Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa do corpo definido pelas superfícies , e . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas para determinar as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o centro de massa. Ele é o ponto que representa a média das posições de todas as partes do corpo, ponderado pela massa. Como não foi dado uma densidade específica, vamos assumir que a densidade é constante.
Passo 3
As coordenadas do centro de massa são dadas por:
onde é o volume do corpo.
Passo 4
Vamos calcular o volume V = integral-1^1 integral-2^2 integral0^1 - x^2 dz , dy , dx primeiro. A integração será feita nas coordenadas , e . As limitações são:
varia de 0 a
varia de -2 a 2
varia de onde , ou seja, então
Então, o volume é:
Passo 5
Vamos resolver a integral para o volume:
V = integral-1^1 integral-2^2 [ z ]0^1 - x^2 dy , dx = integral-1^1 integral-2^2 (1 - x^2) , dy , dx