Encontre o centro de massa do corpo:
z=1-x^2, z=0, |y| <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa do corpo definido pelas superfícies , e . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas para determinar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o centro de massa. Ele é o ponto que representa a média das posições de todas as partes do corpo, ponderado pela massa. Como não foi dado uma densidade específica, vamos assumir que a densidade é constante.

Passo 3

As coordenadas do centro de massa são dadas por:
x = 1V integral triplaV x , dV, y = 1V integral triplaV y , dV, z = 1V integral triplaV z , dV
onde é o volume do corpo.

Passo 4

Vamos calcular o volume V = integral-1^1 integral-2^2 integral0^1 - x^2 dz , dy , dx primeiro. A integração será feita nas coordenadas , e . As limitações são:
  • varia de 0 a
  • varia de -2 a 2
  • varia de onde , ou seja, então
Então, o volume é:

Passo 5

Vamos resolver a integral para o volume:
V = integral-1^1 integral-2^2 [ z ]0^1 - x^2 dy , dx = integral-1^1 integral-2^2 (1 - x^2) , dy , dx
Integrando em V = integral-1^1 (1 - x^2) cdot (2 - (-2)) , dx = integral-1^1 4(1 - x^2) , dx :
V = 4 [ x - x^33 ]-1^1 = 4 ( (1 - 13) - (-1 + 13) ) = 4 ( 23 + 23 ) = 4 cdot 43 = 163
Integrando em :

Passo 6

Agora, vamos calcular . Pela simetria do problema em relação ao eixo e , o centro de massa deve estar no meio de , ou seja, .

Passo 7

Do mesmo jeito, pela simetria em relação ao eixo e , o centro de massa está no meio de , então .

Passo 8

Agora, vamos calcular z = 1V integral triplaV z , dV = 1163 integral-1^1 integral-2^2 integral0^1 - x^2 z , dz , dy , dx :
integral triplaV z , dV = integral-1^1 integral-2^2 [ z^22 ]0^1 - x^2 dy , dx = integral-1^1 integral-2^2 (1 - x^2)^22 , dy , dx
Integrando em integral triplaV z , dV = integral-1^1 (1 - x^2)^22 cdot 4 , dx = 2 integral-1^1 (1 - x^2)^2 , dx :
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4
Integrando em 2 integral-1^1 (1 - 2x^2 + x^4) , dx = 2 [ integral-1^1 1 , dx - 2 integral-1^1 x^2 , dx + integral-1^1 x^4 , dx ] :
integral-1^1 1 , dx = 2
Expandindo integral-1^1 x^2 , dx = 23 :
integral-1^1 x^4 , dx = 25
Então:
2 [ 2 - 2 cdot 23 + 25 ] = 2 [ 2 - 43 + 25 ] = 2 [ 3015 - 2015 + 615 ] = 2 cdot 1615 = 3215
Calculando cada integral:
Substituindo:

Passo 9

Agora, calculamos z = 3215163 = 3215 cdot 316 = 32 cdot 315 cdot 16 = 96240 = 25 :

Resposta

O centro de massa do corpo está no ponto .

Exercícios relacionados