Encontre a integral dupla:
o triangulo:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um triângulo definido pelos pontos
,
e
. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos identificar os limites de integração e integrar a função
sobre a área do triângulo.
Passo 2
Vamos começar identificando a região de integração
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Observando esses pontos, notamos que a base do triângulo está na linha vertical
e se estende de
a
.
Passo 3
Para definir os limites de integração, vamos expressar
em termos de
. Observando os vértices, vemos que para cada valor de
entre
e
,
varia de
a
. Portanto, os limites de
são de
a
, e os limites de
são de
a
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla com os limites identificados:
Aqui, integramos primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da potência para integrar
.
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integração em relação a
na integral em relação a
:
Fatoramos o constante
para facilitar a integração.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da potência novamente para integrar
.
Resposta
A integral dupla
é igual a
.