Encontre a integral dupla:
integral duplaDe o triangulo: (2,-1),(0,0),(2,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo definido pelos pontos , e . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos identificar os limites de integração e integrar a função sobre a área do triângulo.

Passo 2

Vamos começar identificando a região de integração . O triângulo tem vértices em , e . Observando esses pontos, notamos que a base do triângulo está na linha vertical e se estende de a .

Passo 3

Para definir os limites de integração, vamos expressar em termos de . Observando os vértices, vemos que para cada valor de entre e , varia de a . Portanto, os limites de são de a , e os limites de são de a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla com os limites identificados:
integral duplaDe
Aqui, integramos primeiro em relação a de a , e depois em relação a de a .

Passo 5

Primeiro, vamos integrar integral0^2 x y^2 , dx = y^2 integral0^2 x , dx = y^2 [ x^22 ]0^2 = y^2 ( 42 - 0 ) = 2 y^2 em relação a :
Aqui, usamos a regra da potência para integrar .

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integração em relação a integral-1^1 2 y^2 , dy = 2 integral-1^1 y^2 , dy na integral em relação a :
Fatoramos o constante para facilitar a integração.

Passo 7

Integrando 2 integral-1^1 y^2 , dy = 2 [ y^33 ]-1^1 = 2 ( 13 - (-1)^33 ) = 2 ( 13 + 13 ) = 2 ( 23 ) = 43 em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da potência novamente para integrar .

Resposta

A integral dupla é igual a .

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