Encontre a integral dupla usando coordenadas polares: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla sobre uma região circular de raio . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares porque a região é um círculo, e isso simplifica bastante os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
E a área diferencial na integral dupla se transforma em em coordenadas polares. Isso porque, no sistema polar, pequenos elementos de área são como “fatias de pizza” com raio e ângulo .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. A região em coordenadas polares corresponde a e . Então, a integral fica:
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição , então ou . Substituindo, temos:
A integral de é , então:
Sabemos que , então simplificando:
Passo 5
Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^2pi ( 12 (1 + a^2) ln(1 + a^2) - 12 a^2 ) dtheta :