Encontre a integral dupla usando coordenadas polares:
integral duplax^2+y^2 <= a^2 ln (1+x^2+y^2) d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
integral duplax^2+y^2 <= a^2 ln (1+x^2+y^2) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla sobre uma região circular de raio . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares porque a região é um círculo, e isso simplifica bastante os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta para coordenadas polares :
E a área diferencial na integral dupla se transforma em em coordenadas polares. Isso porque, no sistema polar, pequenos elementos de área são como “fatias de pizza” com raio e ângulo .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. A região integral0^2pi integral0^a ln(1 + r^2) cdot r , dr , dtheta em coordenadas polares corresponde a e . Então, a integral fica:

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a ln(1 + r^2) cdot r , dr :
12 integral1^1 + a^2 ln(u) , du
Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição 12 [ (u ln(u) - u) |1^1 + a^2 ] = 12 [ (1 + a^2) ln(1 + a^2) - (1 + a^2) - (1 cdot ln(1) - 1) ] , então 12 [ (1 + a^2) ln(1 + a^2) - (1 + a^2) + 1 ] = 12 (1 + a^2) ln(1 + a^2) - 12 a^2 ou . Substituindo, temos:
A integral de é , então:
Sabemos que , então simplificando:

Passo 5

Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^2pi ( 12 (1 + a^2) ln(1 + a^2) - 12 a^2 ) dtheta :
( 12 (1 + a^2) ln(1 + a^2) - 12 a^2 ) cdot 2pi = pi (1 + a^2) ln(1 + a^2) - pi a^2
Como a expressão dentro da integral não depende de , podemos simplesmente multiplicar pelo intervalo de integração:

Resposta

A integral dupla vale:
pi (1 + a^2) ln(1 + a^2) - pi a^2

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