Encontre o centro de massa de uma lâmina na forma da parte do disco
no primeiro quadrante com densidade constante.
Passo 1
A lâmina é a região do disco
no 1º quadrante, com densidade constante. Para achar o centro de massa de uma lâmina plana de densidade constante, usamos integrais duplas em coordenadas polares (
,
,
), sobre
e
.
Passo 2
Como a densidade
é constante, a massa total é
. A área do quarto de disco é
, logo
Passo 3
Para
usamos
Calculando as integrais:
Então
Passo 4
Por simetria da região em relação à reta
, a coordenada
é igual a
. Ou então refazendo o cálculo trocando
por
também dá
.
Passo 5
Portanto, o centro de massa da lâmina fica deslocado igualmente em
e em
a partir da origem, cada um valendo
.
Resposta
(\tfrac{4a}{3\pi},,\tfrac{4a}{3\pi})