Encontre o centro de massa de uma lâmina na forma da parte do disco x^2+y^2 <= a^2 no primeiro quadrante com densidade constante.

Passo 1

A lâmina é a região do disco x^2+y^2<= a^2 no 1º quadrante, com densidade constante. Para achar o centro de massa de uma lâmina plana de densidade constante, usamos integrais duplas em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta), sobre 0<= r<= a e 0<=theta<=pi/2.

Passo 2

Como a densidade de é constante, a massa total é M=deá. A área do quarto de disco é pi a^2/4, logo
M=de

Passo 3

Para bar x usamos
bar x=1M,de
Calculando as integrais:
de
Então
bar x=de

Passo 4

Por simetria da região em relação à reta y=x, a coordenada bar y é igual a bar x. Ou então refazendo o cálculo trocando costheta por sintheta também dá 4a/(3pi).

Passo 5

Portanto, o centro de massa da lâmina fica deslocado igualmente em x e em y, a partir da origem, cada um valendo 4a/(3pi).

Resposta

(\tfrac{4a}{3\pi},,\tfrac{4a}{3\pi})

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