Encontre o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região sob a curva y=sen x de x=0 a x=pi com densidade constante.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região sob a curva y=sen x, de x=0 a x=π, com densidade constante. Esse problema envolve cálculo de centroides de áreas planas sob curvas. Como a densidade é constante, podemos usar as fórmulas do centróide de uma região plana:
Para este problema, vamos precisar de
A=integral0^pisin x,dx
bar x=1Aintegral0^pixsin x,dx
bar y=1Aintegral0^pi12(sin x)^2,dx

Passo 2

Agora, vamos calcular cada parte. Primeiro, calculamos a área da região.
A=integral0^pisin x,dx=[-cos x]0^pi=(-cospi)-(-cos0)=2

Passo 3

Em seguida, o momento de primeira ordem em relação ao eixo y, que nos dá o numerador de bar x.
My=integral0^pixsin x,dx

Passo 4

Fazendo integração por partes com u=x e dv=sin x,dx obtemos
My=[-xcos x]0^pi+integral0^picos x,dx=pi

Passo 5

Logo,
bar x=MyA=pi2

Passo 6

Agora, o momento de primeira ordem em relação ao eixo x, que dá o numerador de bar y.
Mx=integral0^pi12(sin x)^2,dx=12integral0^pisin^2x,dx

Passo 7

Usando a identidade sin^2x=1-cos2x2, temos
integral0^pisin^2x,dx=pi2

Passo 8

Portanto,
Mx=12cdotpi2=pi4

Passo 9

Finalmente,
bar y=MxA=(pi/4)2=pi8

Resposta

O centro de massa é l(tfracpi2,tfracpi8r).

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