Encontre o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região sob a curva
de
a
com densidade constante.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região sob a curva y=sen x, de x=0 a x=π, com densidade constante. Esse problema envolve cálculo de centroides de áreas planas sob curvas. Como a densidade é constante, podemos usar as fórmulas do centróide de uma região plana:
Para este problema, vamos precisar de
Para este problema, vamos precisar de
Passo 2
Agora, vamos calcular cada parte. Primeiro, calculamos a área da região.
Passo 3
Em seguida, o momento de primeira ordem em relação ao eixo y, que nos dá o numerador de
.
Passo 4
Fazendo integração por partes com
e
obtemos
Passo 5
Logo,
Passo 6
Agora, o momento de primeira ordem em relação ao eixo x, que dá o numerador de
.
Passo 7
Usando a identidade
, temos
Passo 8
Portanto,
Passo 9
Finalmente,
Resposta
O centro de massa é
.