Encontre o centro de massa da placa fina:
x^2+y^2 <= a^2, x >= 0, y >= 0, a densidade f(x, y)=x y;

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa (bar x,bar y) de uma placa fina cuja região é o quarto de disco
x^2+y^2<= a^2, x>=0,;y>=0
e cuja densidade é f(x,y)=xy. Para isso, precisamos calcular a massa
M=integral duplacal Rf(x,y),dA
e os momentos
Mx=integral duplacal Rx,f(x,y),dA, My=integral duplacal Ry,f(x,y),dA,
e então usar
bar x=MxM, bar y=MyM
Usaremos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, com thetain[0,pi/2] e rin[0,a].

Passo 2

Cálculo da massa M:
M=integral0^pi/2!integral0^a(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta;integral0^ar^3,dr
Como
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta =tfrac12integral0^pi/2sin2theta,dtheta =tfrac12[-tfrac12cos2theta]0^pi/2 =tfrac12cdot1=tfrac12
e
integral0^ar^3,dr=a^44,
segue
M=12cdota^44=a^48

Passo 3

Cálculo do momento Mx=integral dupla x,f(x,y),dA:
Mx =integral0^pi/2!integral0^a(rcostheta),(rcostheta,rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pi/2cos^2thetasintheta,dtheta;integral0^ar^4,dr
Aqui
integral0^pi/2cos^2thetasintheta,dtheta =integralu=1^0u^2(-du) =integral0^1u^2du =13,
com u=costheta, e
integral0^ar^4,dr=a^55
Logo
Mx=13cdota^55=a^515

Passo 4

Pela simetria da densidade xy na região x>=0,;y>=0, o momento em y é igual a Mx, ou seja,
My=Mx=a^515

Passo 5

Finalmente, os centros de massa são
bar x=MxM =,a^5/15,,a^4/8, =8a15, bar y=MyM =8a15

Resposta

l(bar x,bar yr)=l(tfrac8a15,,tfrac8a15r)

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