Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
e^x y y^prime=e^-y+e^-2 x-y

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
e^x,y,dydx=e^-y+e^-2x-y
e pede para verificar se ela é separável. O conteúdo aqui é separação de variáveis: vamos reescrever a equação na forma dydx=g(x),h(y), depois integrar ambos os lados. Para a integral em y usaremos integração por partes.

Passo 2

Começamos isolando dydx. Dividindo ambos os lados por e^xy obtém-se
dydx =e^-y+e^-2x-ye^xy =e^-y(1+e^-2x)e^xy =1+e^-2xy,e^-(x+y)

Passo 3

Agora separamos variáveis, isto é, colocamos todo termo em y multiplicando dy e todo termo em x multiplicando dx. Multiplicando ambos os lados por y,e^x+y,dx fica
y,e^x+y,dy =(1+e^-2x),dx
Para facilitar, dividimos por e^x no lado esquerdo, ou seja
y,e^y,dy =(1+e^-2x),e^-x,dx =l(e^-x+e^-3xr),dx

Passo 4

Integramos cada lado:
À esquerda
integral y,e^y,dy faremos por partes, com u=y, dv=e^ydy
integral y,e^y,dy =y,e^y-integral e^ydy =y,e^y-e^y =e^y(y-1)
À direita
integrall(e^-x+e^-3xr),dx =integral e^-xdx+integral e^-3xdx =-e^-x-tfrac13e^-3x+C

Passo 5

Igualando ambas as integrais obtemos a solução implícita
e^y(y-1) =-e^-x-tfrac13e^-3x+C,
ou reorganizando,
e^y(y-1)+e^-x+tfrac13e^-3x=C

Resposta

A EDO é separável e sua solução fica dada implicitamente por
e^y(y-1)+e^-x+tfrac13e^-3x=C
Trata-se de uma solução implícita.

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