Encontre centro, vértices, focos, excentricidade e esboce as hipérboles abaixo: 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma hipérbole: 
 . Aqui, a gente vai precisar usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre conic sections. Vamos encontrar o centro, vértices, focos, excentricidade e até fazer um esboço da hipérbole. Para isso, vamos completar os quadrados e colocar a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de 
  e 
 :
Isso ajuda a deixar claro quais termos vamos completar o quadrado.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 
  e de 
 . Mas antes disso, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Completar o quadrado significa transformar algo do tipo 
  em 
 , ajustando os termos.
Passo 4
Vamos completar o quadrado para 
 :
Então:
Mas como adicionamos 1 dentro do parênteses, precisamos ajustar a equação:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para 
 :
Então:
Novamente, ajustamos a equação:
Passo 6
Expandindo e simplificando:
Agora, vamos dividir tudo por 20 para chegar na forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal.
Passo 7
Agora que temos a equação na forma padrão 
 , podemos identificar os parâmetros:
- Centro 
 - 
 - 
 
Passo 8
Os vértices estão a uma distância 
  do centro ao longo do eixo transversal (no caso, eixo 
 ):
Passo 9
Para encontrar os focos, usamos a relação 
 :
Então, os focos estão a uma distância 
  do centro:
Passo 10
A excentricidade 
  da hipérbole é dada por:
Isso nos mostra o quão “esticada” é a hipérbole.
Passo 11
Agora, para esboçar a hipérbole, sabemos que ela é horizontal (porque o termo de 
  é positivo). O centro é 
 , os vértices são 
  e 
 , e os focos são 
  e 
 . Desenhamos os eixos, marcamos esses pontos e traçamos as duas ramos da hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda.
Resposta
- Centro: 
 - Vértices: 
e  - Focos: 
e  - Excentricidade: 
 - Esboço: Hipérbole horizontal com os vértices e focos conforme acima, centrada em 
, abrindo-se para os lados.