Encontre o centróide de cada superfície S dada abaixo. Como no exercício precedente, admita que a densidade superficial de massa é rho equiv 1.
(b) S é a porção da esfera x^2+y^2+z^2=1 que jaz no interior do cone z^2=x^2+y^2, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o centróide da porção S da esfera unitária
x^2+y^2+z^2=1
que fica dentro do cone
z^2=x^2+y^2, z>=0,
supondo densidade superficial uniforme rhoequiv1.
Para encontrar o centróide (xc,yc,zc) usamos as fórmulas
xc=1Aintegral duplaSx,dS, yc=1Aintegral duplaSy,dS, zc=1Aintegral duplaSz,dS,
onde
A=integral duplaSdS
é a área de S. Vamos parametrizar S em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas escolhemos
x=sinphicostheta, y=sinphisintheta, z=cosphi,
com 0<=theta<=2pi e 0<=phi<=pi/4 (pois o cone z=raizx^2+y^2 phi=pi/4).
O elemento de área na esfera unitária é
dS=sinphi,dphi,dtheta

Passo 3

Calculamos a área de S:
A=integral0^2pi!!integral0^pi/4sinphi,dphi,dtheta =2pil[-cosphir]0^pi/4 =2pil(1-tfracraiz22r) =pil(2-raiz2r)

Passo 4

Como a região é simétrica em x e y, segue que
integral duplaSx,dS =integral duplaSy,dS =0 Longrightarrow xc=yc=0
Calculamos então
integral duplaSz,dS =integral0^2pi!!integral0^pi/4l(cosphir)sinphi,dphi,dtheta =2piintegral0^pi/4sinphicosphi,dphi =2picdottfrac12l[sin^2phir]0^pi/4 =picdottfrac12 =pi2

Passo 5

O valor de zc é
zc=1Aintegral duplaSz,dS =pi/2pi(2-raiz2) =12(2-raiz2) =2+raiz24

Resposta

O centróide da superfície S é
(xc,yc,zc)=l(0,,0,,2+raiz24r)

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