Encontre o centróide de cada superfície
dada abaixo. Como no exercício precedente, admita que a densidade superficial de massa é
.
(b)
é a porção da esfera
que jaz no interior do cone
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede o centróide da porção
da esfera unitária
que fica dentro do cone
supondo densidade superficial uniforme
.
Para encontrar o centróide usamos as fórmulas
Para encontrar o centróide
onde
é a área de
. Vamos parametrizar
em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas escolhemos
com
e
(pois o cone
dá
).
O elemento de área na esfera unitária é
O elemento de área na esfera unitária é
Passo 3
Calculamos a área de
:
Passo 4
Como a região é simétrica em
e
, segue que
Calculamos então
Passo 5
O valor de
é
Resposta
O centróide da superfície
é