Prove que matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico. Use isso para provar que se
é um espaço vetorial de dimensão finita sobre
e
um operador linear definido sobre
, então
e
produzem os mesmos autovalores para
e
bases quaisquer.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico, ou seja, se duas matrizes
e
são ligadas pela relação de semelhança
para alguma matriz inversível
, então
são iguais. Em seguida, usar esse fato para concluir que, dado um operador linear
num espaço vetorial de dimensão finita
sobre
, as matrizes de
em duas bases quaisquer
e
têm os mesmos autovalores.
Passo 2
Prova de invariância do polinômio característico sob semelhança. Seja
para
inversível. Então
Como
, temos
Logo, usando
,
Passo 3
Aplicação ao operador linear
. Sejam
e
duas bases de
. Denotamos por
a matriz de
na base
e por
a matriz de
na base
. Sabe-se que existe matriz inversível
de mudança de base de
para
tal que
Pelo resultado do passo anterior,
e
têm o mesmo polinômio característico, e portanto os mesmos autovalores.
Resposta
As matrizes similares têm o mesmo polinômio característico. Consequentemente, para qualquer operador linear
em espaço de dimensão finita, as matrizes
e
em duas bases quaisquer
e
têm exatamente os mesmos autovalores.