Prove que matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico. Use isso para provar que se V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e T um operador linear definido sobre V, então [T]alpha^alpha e [T]beta^beta produzem os mesmos autovalores para alpha e beta bases quaisquer.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico, ou seja, se duas matrizes A e B são ligadas pela relação de semelhança
B = P^-1 A P
para alguma matriz inversível P, então
chiA(lambda)=det(A - lambda I) e chiB(lambda)=det(B - lambda I)
são iguais. Em seguida, usar esse fato para concluir que, dado um operador linear T num espaço vetorial de dimensão finita V sobre R, as matrizes de T em duas bases quaisquer alpha e beta têm os mesmos autovalores.

Passo 2

Prova de invariância do polinômio característico sob semelhança. Seja B=P^-1AP para P inversível. Então
chiB(lambda) =det(B - lambda I) =detl(P^-1AP - lambda Ir)
Como lambda I =P^-1(lambda I)P, temos
P^-1AP - lambda I = P^-1AP - P^-1(lambda I)P = P^-1(A - lambda I)P
Logo, usando det(XY)=det(X)det(Y),
chiB(lambda) =detl(P^-1(A - lambda I)Pr) =det(P^-1),det(A - lambda I),det(P) =det(A - lambda I) =chiA(lambda)

Passo 3

Aplicação ao operador linear T. Sejam alpha e beta duas bases de V. Denotamos por [T]alpha^alpha a matriz de T na base alpha e por [T]beta^beta a matriz de T na base beta. Sabe-se que existe matriz inversível P de mudança de base de alpha para beta tal que
[T]beta^beta = P^-1,[T]alpha^alpha,P
Pelo resultado do passo anterior, [T]alpha^alpha e [T]beta^beta têm o mesmo polinômio característico, e portanto os mesmos autovalores.

Resposta

As matrizes similares têm o mesmo polinômio característico. Consequentemente, para qualquer operador linear T em espaço de dimensão finita, as matrizes [T]alpha^alpha e [T]beta^beta em duas bases quaisquer alpha e beta têm exatamente os mesmos autovalores.

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