(2,0) Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y=x^3 e y=x^2 com 0 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos de y = x^3 e y = x^2 para 0<= x<=2. Vamos usar o conceito de área entre duas curvas, que diz que a área é
integrala^bl|(função superior) - (função inferior)r|,dx çãçã

Passo 2

Precisamos saber qual curva está por cima em cada subintervalo de 0<= x<=2. Igualando
x^3 = x^2
vem
x^2(x-1)=0Longrightarrow x=0 ou x=1
Para 0<x<1 temos x^2>x^3, e para 1<x<2 vale x^3>x^2.

Passo 3

Logo a área total é a soma de duas integrais:
Área = integral0^1l(x^2 - x^3r),dx + integral1^2l(x^3 - x^2r),dx Á

Passo 4

Calculemos cada integral:
Para a primeira,
integral0^1l(x^2 - x^3r),dx = l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 = tfrac13-tfrac14 = tfrac112
Para a segunda,
integral1^2l(x^3 - x^2r),dx = l[tfracx^44-tfracx^33r]1^2 = l(4-tfrac83r)-l(tfrac14-tfrac13r) = tfrac1712

Passo 5

Somando as duas partes:
Área = tfrac112 + tfrac1712 = tfrac1812 = tfrac32 Á

Resposta

A área da região é tfrac32.

Exercícios relacionados