Resolva a equação do calor nos casos abaixo. Utilize f(x) e suas respectivas séries calculadas no exercício acima:
& l ut=ux x ; (x, t) in[0 pi] times(0, infty), ux(0, t)=0=ux(pi, t), t in[0, infty), u(x, 0)=f(x), x in[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa resolver a equação do calor com certas condições de contorno e uma condição inicial. A equação do calor ajuda a modelar como a temperatura se distribui ao longo do tempo em um material. Para isso, vamos usar séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções como a soma de senos e cossenos. Vamos precisar entender como aplicar essas séries para resolver a equação com as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do calor que nos foi dada:
& l ut=ux x ; (x, t) in[0 pi] times(0, infty), ux(0, t)=0=ux(pi, t), t in[0, infty), u(x, 0)=f(x), x in[0, pi]
Aqui, representa a temperatura no ponto e no tempo .

Passo 3

As condições e são chamadas de condições de contorno de Neumann, que indicam que não há fluxo de calor passando pelas pontas e .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos assumir uma solução na forma de uma série de Fourier cosseno, já que as condições de contorno envolvem derivadas com valores zero. Então, propomos:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos(n x) e^-n^2 t
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 5

Aplicando a condição inicial f(x) = sumn=0^infty An cos(n x) :
An = 2pi integral0^pi f(x) cos(n x) dx
Essa é a série de Fourier cosseno para a função A0 = 1pi integral0^pi f(x) dx , onde os coeficientes são dados por:
Para , o coeficiente é:

Passo 6

Com os valores de u(x, t) = A0 + sumn=1^infty An cos(n x) e^-n^2 t determinados, substituímos de volta na solução geral:
Isso nos dá a solução completa da equação do calor com as condições de contorno e a condição inicial dadas.

Resposta

A solução da equação do calor é dada por:
u(x, t) = 1pi integral0^pi f(x) dx + sumn=1^infty ( 2pi integral0^pi f(x) cos(n x) dx ) cos(n x) e^-n^2 t

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