Encontre os cinco primeiros termos não nulos na solução do PVI
Passo 1
A gente quer resolver o PVI
y'' - x y' - y = 0, y(0)=2, ; y'(0)=1
Esse é um EDO com coeficientes não constantes, então vamos usar o método de série de potências: assumir que a solução é uma série em torno de 0 e achar uma relação de recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Supondo
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
vamos escrever também y'(x)=sumn=1^inftyn an x^n-1 e y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2
A ideia é substituir essas séries na EDO e igualar coeficientes de cada potência de x.
Passo 3
Ao substituir, temos
y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
x y'=sumn=0^inftyn an x^n,
y=sumn=0^inftyan x^n
Colocando na EDO: sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n - sumn=0^inftyn an x^n - sumn=0^inftyan x^n =0