Encontre os cinco primeiros termos não nulos na solução do PVI
l y^prime prime-x y^prime-y=0 y(0)=2 y^prime(0)=1

Passo 1

A gente quer resolver o PVI
y'' - x y' - y = 0, y(0)=2, ; y'(0)=1
Esse é um EDO com coeficientes não constantes, então vamos usar o método de série de potências: assumir que a solução é uma série em torno de 0 e achar uma relação de recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Supondo
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
vamos escrever também
y'(x)=sumn=1^inftyn an x^n-1 e y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2
A ideia é substituir essas séries na EDO e igualar coeficientes de cada potência de x.

Passo 3

Ao substituir, temos
y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
x y'=sumn=0^inftyn an x^n,
y=sumn=0^inftyan x^n
Colocando na EDO:
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n - sumn=0^inftyn an x^n - sumn=0^inftyan x^n =0
Isso dá
(n+2)(n+1)an+2 - (n+1)an =0 implies an+2=ann+2, n>=0

Passo 4

Pelas condições iniciais, quando x=0 temos
y(0)=a0=2, y'(0)=a1=1
Assim, são conhecidos a0 e a1.

Passo 5

Usando a recorrência an+2=an/(n+2):
  • a2=a0/2=2/2=1
  • a3=a1/3=1/3
  • a4=a2/4=1/4
  • a5=a3/5=1/(3cdot5)=1/15
    Os cinco primeiros coeficientes não nulos são a0,a1,a2,a3,a4, e os termos correspondentes são os de grau 0 até 4.

Passo 6

Então os cinco primeiros termos da série são: 2 (grau 0), x (grau 1), x^2 (grau 2), tfrac13x^3 (grau 3) e tfrac14x^4 (grau 4).

Resposta

y(x)=2 + x + x^2 + tfrac13x^3 + tfrac14x^4 + dots

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