Dê a solução geral da EDO
y^prime prime-9 y=e^3 x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
y^prime prime - 9y = e^3x
Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa EDO, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
y^prime prime - 9y = 0
Para resolver isso, usamos a equação característica, que para uma EDO de segunda ordem tem a forma:
r^2 + br + c = 0
No nosso caso, comparando com r^2 - 9 = 0 , temos e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica para encontrar os valores de r^2 - 9 = 0 implies r^2 = 9 implies r = pm 3 :
Então, temos duas raízes reais distintas: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea yh = C1 e^3x + C2 e^-3x é dada por:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular y^prime prime - 9y = e^3x para a equação completa:
yp = A x e^3x
Como o lado direito é , e já vimos que é uma solução da parte homogênea, precisamos ajustar nossa tentativa para a solução particular. Nesse caso, multiplicamos por para evitar a duplicidade. Então, assumimos:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Calculando as derivadas necessárias de yp' = A e^3x + 3A x e^3x :
Primeira derivada:
yp'' = 6A e^3x + 9A x e^3x
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo yp'' - 9yp = (6A e^3x + 9A x e^3x) - 9(A x e^3x) = 6A e^3x e suas derivadas na equação original:
6A e^3x = e^3x
Isso deve ser igual a :

Passo 8

Resolvendo para 6A = 1 implies A = 16 :
yp = 16 x e^3x
Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, juntando a solução homogênea y = yh + yp = C1 e^3x + C2 e^-3x + 16 x e^3x com a solução particular , temos a solução geral da EDO:

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = C1 e^3x + C2 e^-3x + 16 x e^3x

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