Dê a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa EDO, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para resolver isso, usamos a equação característica, que para uma EDO de segunda ordem tem a forma:
No nosso caso, comparando com
, temos
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica para encontrar os valores de
:
Então, temos duas raízes reais distintas:
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea
é dada por:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, e já vimos que
é uma solução da parte homogênea, precisamos ajustar nossa tentativa para a solução particular. Nesse caso, multiplicamos por
para evitar a duplicidade. Então, assumimos:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Calculando as derivadas necessárias de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Isso deve ser igual a
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, juntando a solução homogênea
com a solução particular
, temos a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da EDO é: