Resolva o PVI
l y^prime prime+2 y^prime+y=0 y(0)=0 y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) de segunda ordem com coeficientes constantes: y''+2y'+y=0, sujeito a y(0)=0 e y'(0)=4. O conteúdo é uma EDO linear homogênea de segunda ordem, e vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Note que o discriminante é De, ou seja, temos uma raiz dupla. A raiz é
r = -22 = -1

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla r=-1, a solução geral da EDO é dada por
y(t) = (C1 + C2,t)e^-t

Passo 5

Para encontrar C1 e C2, precisamos de y(0) e de y'(0). Primeiro, derivamos y(t):
y'(t) = ddtl[(C1 + C2 t)e^-tr] = C2 e^-t + (C1 + C2 t)(-e^-t) = l(C2 - C1 - C2 tr)e^-t

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. De y(0)=0 vem
y(0) = (C1 + C2cdot0)e^0 = C1 = 0

Passo 7

E de y'(0)=4 vem
y'(0) = (C2 - C1 - C2cdot0)e^0 = C2 - 0 = C2 = 4

Resposta

Substituindo C1=0 e C2=4 na solução geral, obtemos a solução particular
y(t) = 4t,e^-t

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