Seja dado o campo
e seja
onde
é a porção do cilindro
entre os planos
e
com normal apontando para fora e
é a porção do plano
interna ao cilindro
com normal
. Calcule
.
Escolha uma opção:
0
e seja
Escolha uma opção:
0
Passo 1
O exercício dá o campo vetorial F(x,y,z)=
i+
j+
k e pede o fluxo
sobre a superfície S=S₁∪S₂, onde S₁ é o cilindro lateral de raio √3 (–2≤z≤1) e S₂ o disco em z=–2, com normais apontando para fora do volume.
Passo 2
Para usar o Teorema da Divergência precisamos de uma superfície fechada. Observamos que S está aberta no topo (z=1), então adicionamos S₃, o disco em z=1 de raio √3, normal +k. Para r≠0 temos
. Porém, como o campo é singular na origem (que está dentro do cilindro), o fluxo total por S₁∪S₂∪S₃ vale 4π (resultado clássico de Gauss para
).
Passo 3
Agora calculamos o fluxo por S₃: em z=1 a normal é +k e
. Em coordenadas polares:
Passo 4
Fazendo a substituição
, temos
e então:
Passo 5
Como o fluxo total fechado vale 4π, o fluxo solicitado é 4π menos o fluxo por S₃, ou seja
.
Resposta
3\pi