Seja dado o campo
F(x, y, z)=x(x^2+y^2+z^2)^32 i+y(x^2+y^2+z^2)^32 j+z(x^2+y^2+z^2)^32 k
e seja S=S1 cup S2 onde S1 é a porção do cilindro x^2+y^2=3 entre os planos z=-2 e z=1 com normal apontando para fora e S2 é a porção do plano z=-2 interna ao cilindro x^2+y^2=3 com normal n=-k. Calcule integral dupla F cdot n d S.
Escolha uma opção:
0
(2+raiz3) pi
4 pi
2 pi
3 pi

Passo 1

O exercício dá o campo vetorial F(x,y,z)= x(x^2+y^2+z^2)^3/2i+ y(x^2+y^2+z^2)^3/2j+ z(x^2+y^2+z^2)^3/2k e pede o fluxo integral duplaSFcdot n,dS sobre a superfície S=S₁∪S₂, onde S₁ é o cilindro lateral de raio √3 (–2≤z≤1) e S₂ o disco em z=–2, com normais apontando para fora do volume.

Passo 2

Para usar o Teorema da Divergência precisamos de uma superfície fechada. Observamos que S está aberta no topo (z=1), então adicionamos S₃, o disco em z=1 de raio √3, normal +k. Para r≠0 temos ∇·F=0. Porém, como o campo é singular na origem (que está dentro do cilindro), o fluxo total por S₁∪S₂∪S₃ vale 4π (resultado clássico de Gauss para r/r^3).

Passo 3

Agora calculamos o fluxo por S₃: em z=1 a normal é +k e F·n=1(r^2+1)^3/2. Em coordenadas polares:
PhiS3=integral0^2pi!integral0^raiz31(r^2+1)^3/2,r,dr,dtheta=2piintegral0^raiz3r(r^2+1)^3/2dr

Passo 4

Fazendo a substituição u=r^2+1, temos du=2rdr e então:
integral0^raiz3r(r^2+1)^3/2dr=l[-1raizur]u=1^4=1-tfrac12=tfrac12Logo PhiS3=2picdottfrac12=pi

Passo 5

Como o fluxo total fechado vale 4π, o fluxo solicitado é 4π menos o fluxo por S₃, ou seja 4pi-pi=3pi.

Resposta

3\pi

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