Encontre
se
e
. Determine o domínio de
.
Passo 1
O enunciado nos dá três funções e pede duas coisas:
- Encontrar
, ou seja a composição das três funções. - Determinar o domínio de
.
As funções fornecidas são:
Passo 2
Lembrando a definição de composição: para qualquer
em que tudo faça sentido,
Ou seja, primeiro aplico
a
, depois aplico
ao resultado
, e por fim aplico
ao resultado
. Vou calcular essas etapas uma a uma e, em seguida, analisar onde cada etapa é válida (domínio).
Passo 3
Calcular
e depois
.
Temos
. Então
Aqui uso a regra de potências:
, logo
. Aplicando com
(lembrando que a raiz quadrada exige
):
válido sempre que
, isto é, quando
. Guardamos essa condição para a análise de domínio.
Passo 4
Agora aplico
em
. Substituindo
em
:
Esta é a expressão simplificada da composição. Note que a forma alternativa
é algebraicamente equivalente e mais clara para estudar o domínio.
Passo 5
Determinar o domínio: cada função impõe restrições.
- Domínio de
: exige , ou seja
Portanto qualquer
candidato à composição deve satisfazer
.
-
Domínio de
: está definida para todo . Não impõe restrição adicional. -
Domínio de
: exige , ou seja . No nosso caso ; então devemos ter
Resolver
dá
, ou seja
.
- Juntando tudo: a restrição
que cancelaria o denominador não pertence ao conjunto (é ), portanto não afeta a composição porque já proíbe . Assim a única restrição efetiva é .
Verificação de extremos: para
temos
e a expressão vale
, bem definida. Para
o denominador
nunca zera (o zero ocorreria em
, já excluído), então tudo está ok.
Passo 6
Resumo didático rápido (como lembrar na prova): calcule por etapas
, depois
aplicando regras de potência (p.ex.
), depois substitua na fórmula de
. Para o domínio, comece com a restrição da raiz quadrada
e verifique se a aplicação de
exige retirar mais pontos (aqui teria exigido remover
, mas
já está fora do domínio interno, então não precisa remover nada).