Encontre f \circ g \circ h se f(x)=\frac{x}{x+1}, g(x)=x^{10} e h(x)=\sqrt{3-x}. Determine o domínio de \mathrm{f} \circ \mathrm{g} \circ \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado nos dá três funções e pede duas coisas:
  • Encontrar f\circ g\circ h, ou seja a composição das três funções.
  • Determinar o domínio de f\circ g\circ h.
As funções fornecidas são:
f(x)=\frac{x}{x+1},\qquad g(x)=x^{10},\qquad h(x)=\sqrt{3-x}.

Passo 2

Lembrando a definição de composição: para qualquer x em que tudo faça sentido,
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr).
Ou seja, primeiro aplico h a x, depois aplico g ao resultado h(x), e por fim aplico f ao resultado g(h(x)). Vou calcular essas etapas uma a uma e, em seguida, analisar onde cada etapa é válida (domínio).

Passo 3

Calcular h(x) e depois g(h(x)).
Temos h(x)=\sqrt{3-x}. Então
g(h(x))=\bigl(h(x)\bigr)^{10}=\bigl(\sqrt{3-x}\,\bigr)^{10}.
Aqui uso a regra de potências: \sqrt{u}=u^{1/2}, logo (\sqrt{u})^{10}=(u^{1/2})^{10}=u^{5}. Aplicando com u=3-x (lembrando que a raiz quadrada exige u\ge 0):
\bigl(\sqrt{3-x}\,\bigr)^{10}=(3-x)^{5},
válido sempre que 3-x\ge 0, isto é, quando x\le 3. Guardamos essa condição para a análise de domínio.

Passo 4

Agora aplico f em g(h(x)). Substituindo g(h(x))=(3-x)^{5} em f:
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl((3-x)^{5}\bigr)=\frac{(3-x)^{5}}{(3-x)^{5}+1}.
Esta é a expressão simplificada da composição. Note que a forma alternativa \dfrac{(3-x)^{5}}{(3-x)^{5}+1} é algebraicamente equivalente e mais clara para estudar o domínio.

Passo 5

Determinar o domínio: cada função impõe restrições.
  1. Domínio de h: \sqrt{3-x} exige 3-x\ge 0, ou seja
x\le 3.
Portanto qualquer x candidato à composição deve satisfazer x\le 3.
  1. Domínio de g: g(x)=x^{10} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Não impõe restrição adicional.
  2. Domínio de f: f(t)=\dfrac{t}{t+1} exige t+1\neq 0, ou seja t\neq -1. No nosso caso t=g(h(x))=(3-x)^{5}; então devemos ter
(3-x)^{5}\neq -1.
Resolver (3-x)^{5}=-1 3-x=-1, ou seja x=4.
  1. Juntando tudo: a restrição x=4 que cancelaria o denominador não pertence ao conjunto \{x\le 3\} x>3), portanto não afeta a composição porque h já proíbe x>3. Assim a única restrição efetiva é x\le 3.
Verificação de extremos: para x=3 temos (3-x)^{5}=0 e a expressão vale \dfrac{0}{0+1}=0, bem definida. Para x<3 o denominador (3-x)^{5}+1 nunca zera (o zero ocorreria em x=4, já excluído), então tudo está ok.

Passo 6

Resumo didático rápido (como lembrar na prova): calcule por etapas h(x), depois g(h(x)) aplicando regras de potência (p.ex. (\sqrt{u})^{10}=u^{5}), depois substitua na fórmula de f. Para o domínio, comece com a restrição da raiz quadrada x\le 3 e verifique se a aplicação de f exige retirar mais pontos (aqui teria exigido remover x=4, mas 4 já está fora do domínio interno, então não precisa remover nada).

Resposta

(f\circ g\circ h)(x)=\frac{(3-x)^{5}}{(3-x)^{5}+1}
\text{Domínio: }\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 3\}í

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