Exemplo 4

Dados os pontos do plano A=(1,3) e B=(6,1).
(a) Calcule o ponto médio C do segmento A B utilizando a multiplicação de um vetor por um número real.
(b) Determine os pontos D e E que dividem o segmento A B em três partes iguais.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos do plano:
  • A=(1,3)
  • B=(6,1)
O que nos pedem:
(a) Calcular o ponto médio C do segmento A B utilizando a multiplicação de um vetor por um número real.
(b) Determinar os pontos D e E que dividem o segmento A B em três partes iguais (ou seja, triseccionam o segmento).

Passo 2

Vamos modelar os pontos como vetores posição no plano e trabalhar com o vetor que vai de A a B.
Definição/princípio útil (explicação didática): dado um ponto P=(x_P,y_P) e um ponto Q=(x_Q,y_Q), o vetor \overrightarrow{PQ} é dado pelas diferenças das coordenadas:
\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
Multiplicação de um vetor por um escalar: se \lambda é um número real e v=(v_x,v_y) é um vetor, então
\lambda v=(\lambda v_x,\;\lambda v_y).
Soma de vetores (adicionar um vetor a um ponto): se P=(x_P,y_P) e v=(v_x,v_y) então
P+v=(x_P+v_x,\;y_P+v_y),
que corresponde a deslocar o ponto P pelo vetor v.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} (subtração componente a componente):
\overrightarrow{AB}=(6-1,\;1-3)=(5,\;-2).
Para o ponto médio C do segmento AB usamos a ideia de deslocar A por metade do vetor \overrightarrow{AB}:
C = A + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
Primeiro calculemos \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} usando multiplicação escalar:
\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\tfrac{1}{2}(5,\;-2)=\Big(\tfrac{5}{2},\;-\tfrac{2}{2}\Big)=\Big(\tfrac{5}{2},\;-1\Big).
Agora somamos isso ao ponto A=(1,3):
C = \big(1,\;3\big)+\Big(\tfrac{5}{2},\;-1\Big)=\Big(1+\tfrac{5}{2},\;3-1\Big)=\Big(\tfrac{7}{2},\;2\Big).
Observação didática rápida: isso é equivalente à fórmula do ponto médio por coordenadas \big(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2}\big). Aqui \big(\tfrac{1+6}{2},\tfrac{3+1}{2}\big)=\big(\tfrac{7}{2},2\big), mesmo resultado.

Passo 4

Agora vamos encontrar D e E que dividem AB em três partes iguais. A ideia é a mesma: deslocar A por frações do vetor \overrightarrow{AB}.
Raciocínio didático: se queremos três partes iguais, os pontos interiores correspondem a deslocamentos de \tfrac{1}{3} e \tfrac{2}{3} do vetor \overrightarrow{AB} a partir de A:
D = A + \tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB},\qquad E = A + \tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}.
Calculemos \tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}:
\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\tfrac{1}{3}(5,\;-2)=\Big(\tfrac{5}{3},\;-\tfrac{2}{3}\Big).
Somando a A:
D = \big(1,\;3\big)+\Big(\tfrac{5}{3},\;-\tfrac{2}{3}\Big)=\Big(1+\tfrac{5}{3},\;3-\tfrac{2}{3}\Big).
Colocando em denominador comum:
1+\tfrac{5}{3}=\tfrac{3+5}{3}=\tfrac{8}{3},\qquad 3-\tfrac{2}{3}=\tfrac{9-2}{3}=\tfrac{7}{3}.
Logo
D=\Big(\tfrac{8}{3},\;\tfrac{7}{3}\Big).
Agora \tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}:
\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\tfrac{2}{3}(5,\;-2)=\Big(\tfrac{10}{3},\;-\tfrac{4}{3}\Big).
Somando a A:
E=\big(1,\;3\big)+\Big(\tfrac{10}{3},\;-\tfrac{4}{3}\Big)=\Big(1+\tfrac{10}{3},\;3-\tfrac{4}{3}\Big).
Colocando em denominador comum:
1+\tfrac{10}{3}=\tfrac{3+10}{3}=\tfrac{13}{3},\qquad 3-\tfrac{4}{3}=\tfrac{9-4}{3}=\tfrac{5}{3}.
Logo
E=\Big(\tfrac{13}{3},\;\tfrac{5}{3}\Big).
Checagem rápida (didática): \overrightarrow{AD}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DE}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} e \overrightarrow{EB}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}, ou seja, os três segmentos têm o mesmo vetor-direção e mesmo comprimento, então realmente trisecam AB.

Resposta

C=\Big(\tfrac{7}{2},\;2\Big)
D=\Big(\tfrac{8}{3},\;\tfrac{7}{3}\Big)
E=\Big(\tfrac{13}{3},\;\tfrac{5}{3}\Big)

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