Exemplo 3

Dados os vetores \vec{u}=(1,-1) e \vec{v}=(3,1), determine
\vec{a}=2 \vec{u}+\vec{v}, \vec{b}=\vec{u}+2 \vec{v}, \vec{c}=\frac{1}{2} \vec{b}-\vec{a} .
Solução.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(1,-1) e \vec{v}=(3,1) e pede para determinar os vetores
\vec{a}=2\vec{u}+\vec{v}, \vec{b}=\vec{u}+2\vec{v} e \vec{c}=\dfrac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{u}=(1,-1).
  • \vec{v}=(3,1).
  • Precisamos calcular \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} usando operações com vetores (multiplicação por escalar, soma e subtração).

Passo 2

Relembrando as regras básicas (explicação didática e prática):
  • Se \vec{x}=(x_1,x_2) e \vec{y}=(y_1,y_2), a soma é feita componente a componente:
\vec{x}+\vec{y}=(x_1+y_1,\;x_2+y_2).
  • Multiplicação de um vetor por um escalar \alpha é:
\alpha\vec{x}=(\alpha x_1,\;\alpha x_2).
  • A subtração é a soma com o oposto:
\vec{x}-\vec{y}=(x_1-y_1,\;x_2-y_2).
Essas regras são tudo o que precisamos para calcular \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}. Vou aplicar passo a passo, componente a componente, para que dê pra relembrar na prova sem errar.

Passo 3

Calcular \vec{a}=2\vec{u}+\vec{v}.
Primeiro \;2\vec{u}. Como \vec{u}=(1,-1),
2\vec{u}=(2\cdot 1,\;2\cdot(-1))=(2,-2).
Agora somar \vec{v}=(3,1):
\vec{a}=2\vec{u}+\vec{v}=(2,-2)+(3,1)=(2+3,\;-2+1)=(5,-1).

Passo 4

Calcular \vec{b}=\vec{u}+2\vec{v}.
Primeiro \;2\vec{v}. Como \vec{v}=(3,1),
2\vec{v}=(2\cdot 3,\;2\cdot 1)=(6,2).
Agora somar \vec{u}=(1,-1):
\vec{b}=\vec{u}+2\vec{v}=(1,-1)+(6,2)=(1+6,\;-1+2)=(7,1).

Passo 5

Calcular \vec{c}=\dfrac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}.
Primeiro \dfrac{1}{2}\vec{b}. Como \vec{b}=(7,1),
\dfrac{1}{2}\vec{b}=\left(\dfrac{1}{2}\cdot 7,\;\dfrac{1}{2}\cdot 1\right)=\left(\dfrac{7}{2},\;\dfrac{1}{2}\right).
Agora subtrair \vec{a}=(5,-1):
\vec{c}=\dfrac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}=\left(\dfrac{7}{2},\;\dfrac{1}{2}\right)-(5,-1) =\left(\dfrac{7}{2}-5,\;\dfrac{1}{2}-(-1)\right).
Calculemos cada componente:
\dfrac{7}{2}-5=\dfrac{7}{2}-\dfrac{10}{2}=-\dfrac{3}{2}, \qquad \dfrac{1}{2}-(-1)=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{3}{2}.
Portanto
\vec{c}=\left(-\dfrac{3}{2},\;\dfrac{3}{2}\right).

Resposta

\vec{a}=(5,-1)
\vec{b}=(7,1)
\vec{c)=\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)}

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