Encontre e classifique os pontos críticos de
f(x, y)=x^{3}-3 x+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função
f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}:
  • encontrar os pontos críticos (ou seja, os pontos onde o gradiente é zero ou não existe);
  • classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Informações dadas:
  • a função explícita é \,f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}\,;
  • não há restrições no domínio (assume-se domínio todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é necessário para achar pontos críticos: calcular as derivadas parciais primeiras e igualar o gradiente a zero. Explicando devagar:
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a variação de f quando só x muda e y fica fixo.
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a variação de f quando só y muda e x fica fixo.
    O vetor gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\;\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Pontos críticos são soluções de \nabla f(x,y)= (0,0).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de \,f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}\,.
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Igualando o gradiente a zero:
3x^{2}-3=0, \qquad 2y=0.
Resolvendo:
3x^{2}-3=0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1, \qquad 2y=0 \Rightarrow y=0.
Portanto os pontos críticos são \,(1,0) e , (-1,0).

Passo 4

Agora vamos classificar os pontos críticos. Usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Explicando a ideia:
  • Calculam-se as segundas derivadas: \,f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\; f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\; f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Define-se o discriminante do Hessiano em um ponto (x_0,y_0) como
D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^{2}.
  • Regras de classificação:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x_0,y_0), então f tem um mínimo local ali.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 em (x_0,y_0), então f tem um máximo local ali.
    • Se D<0, então (x_0,y_0) é ponto de sela.
    • Se D=0, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
f_{xx}= \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-3)=6x, \qquad f_{yy}= \frac{\partial}{\partial y}(2y)=2, \qquad f_{xy}= \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-3)=0.
Assim o discriminante vale
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-f_{xy}^{2}=(6x)\cdot 2 - 0^{2}=12x.

Passo 6

Avaliar D e f_{xx} nos pontos críticos:
  • No ponto (1,0):
    D(1,0)=12\cdot 1=12>0, \qquad f_{xx}(1,0)=6\cdot 1=6>0.
    Como D>0 e f_{xx}>0, concluímos que (1,0) é um mínimo local.
  • No ponto (-1,0):
    D(-1,0)=12\cdot(-1)=-12<0.
    Como D<0, concluímos que (-1,0) é um ponto de sela.

Passo 7

Resumo intuitivo curto (para fixar): ao longo da direção y a função tem sempre curvatura positiva porque f_{yy}=2>0. No eixo x a curvatura depende do sinal de x porque f_{xx}=6x: para x>0 a curvatura é positiva (mínimo em x), para x<0 a curvatura é negativa (tendência a máximo na direção x), e como as curvaturas em x e y têm sinais opostos em (-1,0) isso cria um ponto de sela.

Resposta

(1,0) é um mínimo local.
(-1,0) é um ponto de sela.

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