Encontre e classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
- encontrar os pontos críticos (ou seja, os pontos onde o gradiente é zero ou não existe);
- classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Informações dadas:
- a função explícita é
; - não há restrições no domínio (assume-se domínio todo
).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que é necessário para achar pontos críticos: calcular as derivadas parciais primeiras e igualar o gradiente a zero. Explicando devagar:
- A derivada parcial
mede a variação de quando só muda e fica fixo. - A derivada parcial
mede a variação de quando só muda e fica fixo.
O vetor gradiente é
Pontos críticos são soluções de
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
.
Igualando o gradiente a zero:
Resolvendo:
Portanto os pontos críticos são
e ,
.
Passo 4
Agora vamos classificar os pontos críticos. Usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Explicando a ideia:
- Calculam-se as segundas derivadas:
- Define-se o discriminante do Hessiano em um ponto
como
- Regras de classificação:
- Se
e em , então tem um mínimo local ali. - Se
e em , então tem um máximo local ali. - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
Assim o discriminante vale
Passo 6
Avaliar
e
nos pontos críticos:
-
No ponto
: Comoe , concluímos que é um mínimo local. -
No ponto
: Como, concluímos que é um ponto de sela.
Passo 7
Resumo intuitivo curto (para fixar): ao longo da direção
a função tem sempre curvatura positiva porque
. No eixo
a curvatura depende do sinal de
porque
: para
a curvatura é positiva (mínimo em
), para
a curvatura é negativa (tendência a máximo na direção
), e como as curvaturas em
e
têm sinais opostos em
isso cria um ponto de sela.