Encontre e classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas: encontrar os pontos críticos e classificá‑los (se são máximos, mínimos ou pontos de sela). Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio quadrático em duas variáveis, definida para todos os
. - Precisamos achar todos os pontos onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam (ou onde não existam), e então determinar o tipo de cada ponto crítico.
Passo 2
O que é ponto crítico (explicação didática): um ponto crítico de uma função diferenciável de duas variáveis é um ponto onde ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero, ou onde alguma delas não existe. Aqui a função é polinomial (diferenciável em todo lugar), então basta resolver o sistema das derivadas parciais iguais a zero.
Cálculo das derivadas parciais (mostrando cada passo):
Passo 3
Determinar pontos críticos: resolver o sistema
Resolver a primeira equação:
Resolver a segunda equação:
Portanto há um único ponto crítico:
.]
Passo 4
Como classificar esse ponto? (explicação didática do teste das segundas derivadas)
Para funções duas vezes diferenciáveis, usa‑se o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico:
Para funções
As regras (resumo fácil):
- Calcular
no ponto crítico. - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Explicando o porquê, de maneira intuitiva:
e
medem a curvatura da função nas direções
e
;
combina essas curvaturas para decidir se a superfície é “bowl” (mínimo), “cap” (máximo) ou tem curvaturas opostas (sela).]
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (mostrando cada passo):
Calcular o determinante
:
Como
e
, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico
é um mínimo local.
Passo 6
Mostrar que é mínimo absoluto/global (explicação e completamento do quadrado):
A função é um quadrático convexo (a Hessiana é positiva definida porque seus autovalores são positivos), então um mínimo local é na verdade mínimo global. Para ver explicitamente o valor mínimo e onde ocorre, completar o quadrado:
A função é um quadrático convexo (a Hessiana é positiva definida porque seus autovalores são positivos), então um mínimo local é na verdade mínimo global. Para ver explicitamente o valor mínimo e onde ocorre, completar o quadrado:
Somando:
Daí fica claro: o menor valor que
pode assumir é
, quando
e
. Portanto o valor mínimo de
é
e ocorre em
. Isso confirma que o mínimo é global.
Resposta
Classificação: mínimo absoluto (valor mínimo