Encontre e classifique os pontos críticos de
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 x+6 y .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4x+6y
e pede duas coisas: encontrar os pontos críticos e classificá‑los (se são máximos, mínimos ou pontos de sela). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio quadrático em duas variáveis, definida para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Precisamos achar todos os pontos onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam (ou onde não existam), e então determinar o tipo de cada ponto crítico.

Passo 2

O que é ponto crítico (explicação didática): um ponto crítico de uma função diferenciável de duas variáveis é um ponto onde ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero, ou onde alguma delas não existe. Aqui a função é polinomial (diferenciável em todo lugar), então basta resolver o sistema das derivadas parciais iguais a zero.
Cálculo das derivadas parciais (mostrando cada passo):
\frac{\partial f}{\partial x}= \text{derivando }x^{2}-4x\text{ em }x \text{ e }y^2+6y\text{ em }x\text{ (que é zero)}.é
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4.
\frac{\partial f}{\partial y}= \text{derivando }y^{2}+6y\text{ em }y \text{ e }x^2-4x\text{ em }y\text{ (que é zero)}.é
\frac{\partial f}{\partial y}=2y+6.

Passo 3

Determinar pontos críticos: resolver o sistema
\begin{cases} 2x-4=0,\\[4pt] 2y+6=0. \end{cases}
Resolver a primeira equação:
2x-4=0\quad\Rightarrow\quad 2x=4\quad\Rightarrow\quad x=2.
Resolver a segunda equação:
2y+6=0\quad\Rightarrow\quad 2y=-6\quad\Rightarrow\quad y=-3.
Portanto há um único ponto crítico: (2,-3).]

Passo 4

Como classificar esse ponto? (explicação didática do teste das segundas derivadas)
Para funções f(x,y) duas vezes diferenciáveis, usa‑se o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
As regras (resumo fácil):
  • Calcular D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} no ponto crítico.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Explicando o porquê, de maneira intuitiva: f_{xx} e f_{yy} medem a curvatura da função nas direções x e y; D combina essas curvaturas para decidir se a superfície é “bowl” (mínimo), “cap” (máximo) ou tem curvaturas opostas (sela).]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas (mostrando cada passo):
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-4)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y+6)=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4)=0,\qquad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(2y+6)=0.
Calcular o determinante D:
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot2-0^{2}=4.
Como D=4>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico (2,-3) é um mínimo local.

Passo 6

Mostrar que é mínimo absoluto/global (explicação e completamento do quadrado):
A função é um quadrático convexo (a Hessiana é positiva definida porque seus autovalores são positivos), então um mínimo local é na verdade mínimo global. Para ver explicitamente o valor mínimo e onde ocorre, completar o quadrado:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,
y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9.
Somando:
f(x,y)=(x-2)^{2}+(y+3)^{2}-4-9=(x-2)^{2}+(y+3)^{2}-13.
Daí fica claro: o menor valor que (x-2)^{2}+(y+3)^{2} pode assumir é 0, quando x=2 e y=-3. Portanto o valor mínimo de f é -13 e ocorre em (2,-3). Isso confirma que o mínimo é global.

Resposta

(2,-3) é o único ponto crítico.
Classificação: mínimo absoluto (valor mínimo -13).

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