Use multiplicadores de Lagrange para maximizar e minimizar
f(x, y)=x y
sob a restrição
x^{2}+y^{2}=1
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos (máximo e mínimo) da função f(x,y)=x y quando (x,y) está restrito à curva dada por \;x^{2}+y^{2}=1.
Informações dadas:
A função objetivo é f(x,y)=x y.
A restrição é a equação da circunferência unitária: x^{2}+y^{2}=1.
O que se deve fornecer: os pontos (x,y) sobre a circunferência onde f atinge valores extremos e os valores correspondentes de f.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do que vamos usar).
Quando temos uma função f(x,y) com uma restrição g(x,y)=0, o método dos multiplicadores de Lagrange busca pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso ocorre porque, em um ponto extremo sujeito à restrição, qualquer pequena variação tangencial à restrição não deve alterar f na primeira ordem.
Definimos a função auxiliar chamada Lagrangiana. Aqui escolhemos
L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y).
Explicando as variáveis:
x,y são as variáveis que queremos escolher sobre a curva.
\lambda é o multiplicador de Lagrange: um número que ajusta a relação entre os gradientes.
g(x,y) é a função que descreve a restrição; no nosso caso g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
A condição necessária para extremos (pontos candidatos) é que as derivadas parciais da Lagrangiana sejam zero:
Caso \lambda^{2}=\tfrac{1}{4}, ou seja \lambda=\pm \tfrac{1}{2}.
Se \lambda=\tfrac{1}{2}, a relação y=2\lambda x dá y=x.
Substituindo na restrição:x^{2}+x^{2}=1 \;\Rightarrow\; 2x^{2}=1 \;\Rightarrow\; x^{2}=\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}.Assim obtemos os pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Avaliando f nesses pontos:f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{1}{2},\qquad f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{1}{2}.
Se \lambda=-\tfrac{1}{2}, a relação y=2\lambda x dá y=-x.
Substituindo na restrição:x^{2}+(-x)^{2}=1 \;\Rightarrow\; 2x^{2}=1 \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}.Assim obtemos os pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Avaliando f nesses pontos:f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\tfrac{1}{2},\qquad f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\tfrac{1}{2}.
Passo 7
Comparação dos valores encontrados nos pontos candidatos:
Valores f=0 nos pontos \bigl(1,0\bigr),\bigl(-1,0\bigr),\bigl(0,1\bigr),\bigl(0,-1\bigr).
Valores f=\tfrac{1}{2} nos pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Valores f=-\tfrac{1}{2} nos pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Observação teórica curta: como f é contínua e a restrição x^{2}+y^{2}=1 define um conjunto compacto (a circunferência é compacta), os valores extremos globais de f sobre essa curva ocorrem entre os pontos críticos que encontramos. Assim, comparando os valores, podemos identificar globalmente qual é o maior e qual é o menor.
Resposta
Máximo global: \,f=\tfrac{1}{2}\, em \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)
Mínimo global: \,f=-\tfrac{1}{2}\, em \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)