Use multiplicadores de Lagrange para maximizar e minimizar
f(x, y)=x y
sob a restrição
x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos (máximo e mínimo) da função f(x,y)=x y quando (x,y) está restrito à curva dada por \;x^{2}+y^{2}=1.
Informações dadas:
  • A função objetivo é f(x,y)=x y.
  • A restrição é a equação da circunferência unitária: x^{2}+y^{2}=1.
  • O que se deve fornecer: os pontos (x,y) sobre a circunferência onde f atinge valores extremos e os valores correspondentes de f.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do que vamos usar).
  • Quando temos uma função f(x,y) com uma restrição g(x,y)=0, o método dos multiplicadores de Lagrange busca pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso ocorre porque, em um ponto extremo sujeito à restrição, qualquer pequena variação tangencial à restrição não deve alterar f na primeira ordem.
  • Definimos a função auxiliar chamada Lagrangiana. Aqui escolhemos
L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y).
  • Explicando as variáveis:
    • x,y são as variáveis que queremos escolher sobre a curva.
    • \lambda é o multiplicador de Lagrange: um número que ajusta a relação entre os gradientes.
    • g(x,y) é a função que descreve a restrição; no nosso caso g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
  • A condição necessária para extremos (pontos candidatos) é que as derivadas parciais da Lagrangiana sejam zero:
\frac{\partial L}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.
Isso traduz o fato de que o gradiente de f e o de g são proporcionais e que a restrição é satisfeita.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a Lagrangiana e calculando as derivadas parciais.
  • A restrição: g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
  • A Lagrangiana:
L(x,y,\lambda)=x y-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr).
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial L}{\partial x}=y-2\lambda x, \qquad \frac{\partial L}{\partial y}=x-2\lambda y, \qquad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-1).
As condições \frac{\partial L}{\partial x}=0, \frac{\partial L}{\partial y}=0, \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0 viram o sistema
\begin{cases} y-2\lambda x=0,\\[4pt] x-2\lambda y=0,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema de equações. Primeiro manipulação algébrica das duas primeiras equações.
Das duas primeiras equações obtemos
y=2\lambda x \qquad\text{e}\qquad x=2\lambda y.
Multiplicando membro a membro:
x y = (2\lambda x)(2\lambda y)=4\lambda^{2} x y.
Isso leva à equação
x y\bigl(1-4\lambda^{2}\bigr)=0.
Logo, ou x y=0 ou 1-4\lambda^{2}=0 (ou seja, \lambda^{2}=\tfrac{1}{4}).

Passo 5

Caso x y=0.
  • Se x=0 então pela restrição y^{2}=1 e assim y=\pm 1. Isso dá os pontos \bigl(0,1\bigr) e \bigl(0,-1\bigr).
  • Se y=0 então pela restrição x^{2}=1 e assim x=\pm 1. Isso dá os pontos \bigl(1,0\bigr) e \bigl(-1,0\bigr).
    Avaliação de f nesses pontos:
f(0,1)=0,\quad f(0,-1)=0,\quad f(1,0)=0,\quad f(-1,0)=0.

Passo 6

Caso \lambda^{2}=\tfrac{1}{4}, ou seja \lambda=\pm \tfrac{1}{2}.
  • Se \lambda=\tfrac{1}{2}, a relação y=2\lambda x y=x.
    Substituindo na restrição: x^{2}+x^{2}=1 \;\Rightarrow\; 2x^{2}=1 \;\Rightarrow\; x^{2}=\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}.Assim obtemos os pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
    Avaliando f nesses pontos: f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{1}{2},\qquad f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{1}{2}.
  • Se \lambda=-\tfrac{1}{2}, a relação y=2\lambda x y=-x.
    Substituindo na restrição: x^{2}+(-x)^{2}=1 \;\Rightarrow\; 2x^{2}=1 \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}.Assim obtemos os pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
    Avaliando f nesses pontos: f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\tfrac{1}{2},\qquad f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Comparação dos valores encontrados nos pontos candidatos:
  • Valores f=0 nos pontos \bigl(1,0\bigr),\bigl(-1,0\bigr),\bigl(0,1\bigr),\bigl(0,-1\bigr).
  • Valores f=\tfrac{1}{2} nos pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Valores f=-\tfrac{1}{2} nos pontos \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Observação teórica curta: como f é contínua e a restrição x^{2}+y^{2}=1 define um conjunto compacto (a circunferência é compacta), os valores extremos globais de f sobre essa curva ocorrem entre os pontos críticos que encontramos. Assim, comparando os valores, podemos identificar globalmente qual é o maior e qual é o menor.

Resposta

Máximo global: \,f=\tfrac{1}{2}\, em \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)
Mínimo global: \,f=-\tfrac{1}{2}\, em \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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