Considere
Supondo
, determine
Passo 1
O enunciado nos dá a equação implícita
e diz que
é uma função de
e
, isto é
. O que se pede é encontrar as derivadas parciais
Informações relevantes dadas:
- A relação entre
é exatamente a equação . - Assume-se que existe
localmente (ou seja, que se possa aplicar diferenciação implícita), salvo casos em que isso falhe (ver observação posterior).
Passo 2
Ideia geral (cadeia/parcial): quando temos uma equação
, ao diferenciar parcialmente em relação a
(mantendo
fixo) a regra da cadeia dá
Explicando devagar:
é a derivada parcial de
em que tratamos
como variável independente (ou seja, como constante nessa parcial); o termo
aparece porque
depende de
e
depende de
, então é preciso multiplicar por
(regra da cadeia). A mesma ideia vale para a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Calcular as parciais básicas de
. Tomando derivadas parciais tratando as outras variáveis como constantes:
- Derivando em relação a
(mantendo e constantes):
Aqui
,
(na parcial trata-se
como independente),
. E
(porque
e
são tratados como constantes). Logo
- Derivando em relação a
(mantendo constantes) de modo análogo:
- Derivando em relação a
(mantendo constantes):
Passo 4
Usar as fórmulas da Passo 2 para isolar
. Da igualdade
segue
Substituindo os valores calculados no Passo 3:
Se preferir, pode reescrever trocando o sinal no numerador:
Passo 5
Agora isolar
de forma análoga. Da igualdade
vem
Substituindo as parciais:
Ou, equivalente,
Passo 6
Observação importante (quando a fórmula vale): ambas as expressões usam como denominador
. Se em algum ponto considerado
, a fórmula acima estoura (divisão por zero) e a hipótese de conseguir escrever localmente
como função de
pela função implícita pode falhar — nesse caso é preciso analisar mais cuidadosamente (teorema da função implícita). Fora desses pontos, as fórmulas dadas são válidas.