Considere
F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y z-4=0 .
Supondo
z=z(x, y)
, determine
\frac{\partial z}{\partial x} \quad \text { e } \quad \frac{\partial z}{\partial y} .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y z-4=0
e diz que z é uma função de x e y, isto é z=z(x,y). O que se pede é encontrar as derivadas parciais
\frac{\partial z}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes dadas:
  • A relação entre x,y,z é exatamente a equação F(x,y,z)=0.
  • Assume-se que existe z(x,y) localmente (ou seja, que se possa aplicar diferenciação implícita), salvo casos em que isso falhe (ver observação posterior).

Passo 2

Ideia geral (cadeia/parcial): quando temos uma equação F(x,y,z(x,y))=0, ao diferenciar parcialmente em relação a x (mantendo y fixo) a regra da cadeia dá
\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,z(x,y))=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x}=0.
Explicando devagar: \partial F/\partial x é a derivada parcial de F em que tratamos z como variável independente (ou seja, como constante nessa parcial); o termo \partial F/\partial z aparece porque F depende de z e z depende de x, então é preciso multiplicar por \partial z/\partial x (regra da cadeia). A mesma ideia vale para a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial y}=0.

Passo 3

Calcular as parciais básicas de F. Tomando derivadas parciais tratando as outras variáveis como constantes:
  • Derivando em relação a x (mantendo y e z constantes):
\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xyz\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}(4).
Aqui \partial(y^{2})/\partial x=0, \partial(z^{2})/\partial x=0 (na parcial trata-se z como independente), \partial(4)/\partial x=0. E \partial(xyz)/\partial x = y z (porque y e z são tratados como constantes). Logo
\frac{\partial F}{\partial x}=2x - y z.
  • Derivando em relação a y (mantendo x,z constantes) de modo análogo:
\frac{\partial F}{\partial y}=2y - x z.
  • Derivando em relação a z (mantendo x,y constantes):
\frac{\partial F}{\partial z}=2z - x y.

Passo 4

Usar as fórmulas da Passo 2 para isolar \partial z/\partial x. Da igualdade
\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x}=0
segue
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}.
Substituindo os valores calculados no Passo 3:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x - y z}{2z - x y}.
Se preferir, pode reescrever trocando o sinal no numerador:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y z - 2x}{2z - x y}.

Passo 5

Agora isolar \partial z/\partial y de forma análoga. Da igualdade
\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial y}=0
vem
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}.
Substituindo as parciais:
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y - x z}{2z - x y}.
Ou, equivalente,
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x z - 2y}{2z - x y}.

Passo 6

Observação importante (quando a fórmula vale): ambas as expressões usam como denominador \frac{\partial F}{\partial z}=2z-xy. Se em algum ponto considerado 2z-xy=0, a fórmula acima estoura (divisão por zero) e a hipótese de conseguir escrever localmente z como função de x,y pela função implícita pode falhar — nesse caso é preciso analisar mais cuidadosamente (teorema da função implícita). Fora desses pontos, as fórmulas dadas são válidas.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x-yz}{2z-xy}
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y-xz}{2z-xy}

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