- Seja
o plano tangente ao gráfico da função
associado a um ponto
. Mostrar que
para cada
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que o plano tangente
ao gráfico de
no ponto
satisfaz
A forma geral do plano tangente de uma função diferenciável
em
é
onde
são as derivadas parciais de
avaliadas em
. O objetivo é provar a desigualdade acima para quaisquer
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais e as segundas derivadas de
.
Derivadas primeiras:
Assim o gradiente é
Derivadas segundas:
Portanto a matriz Hessiana é
Passo 3
Explico o critério que vou usar: se a Hessiana
é semidefinida positiva em todo
(ou seja,
para todo vetor
), então
é convexa. Para matrizes diagonais isso é simples de checar: basta que as entradas diagonais sejam não negativas.
Aqui, para qualquer vetor
temos
porque
para todo
e
para todo
. Logo
é semidefinida positiva em todo
. Portanto
é uma função convexa em
.
Comentário rápido e útil: ser convexa significa geometricamente que o gráfico de
fica sempre acima de qualquer linha (hiperplano) tangente — é exatamente o que precisamos provar. Agora vou transformar essa ideia em uma prova rigorosa usando uma redução a uma função de uma só variável.
Passo 4
Prova da desigualdade usando uma função de uma variável (argumento padrão para funções diferenciáveis convexas).
Fixe um ponto arbitrário
e um ponto qualquer
. Considere a curva que liga
a
por parâmetro
:
Defina a função de uma variável
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
A segunda derivada é
Como vimos no Passo 3,
é semidefinida positiva para todo
, segue que
para todo
. Portanto
é convexa como função de
.
Para uma função convexa de uma variável
vale a desigualdade de primeira ordem:
Agora substituímos as definições:
e
Logo
Mas o lado direito é exatamente
, o plano tangente em
. Assim
para todo
.
Passo 5
Resumo intuitivo (um empurrãozinho amigo): a função
e a função
são convexas; somadas com termos lineares e constantes mantém a convexidade. Para funções convexas diferenciáveis, o plano tangente em qualquer ponto fica sempre por baixo do gráfico — é a razão pela qual a desigualdade é verdadeira para todos os pontos. Pronto, está provado.